Q1: Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=3 \vec{a}_{1}+3 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3}, \vec{b}_{2}=7 \vec{a}_{1}+5 \vec{a}_{2}+3 \vec{a}_{3} e \vec{b}_{3}=2 \vec{a}_{1}+3 \vec{a}_{2}+7 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=-2, assinale o valor do \operatorname{det}(B) :
(A) 18
(B) 16
(C) 14
(D) 12
(E) 10
(F) 8
(G) 6
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A cujas colunas são os vetores \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}\in\mathbb{R}^{3}, e uma matriz B cujas colunas \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3} satisfazem as relações
Além disso sabemos que \det(A)=-2. A pergunta é: qual é o valor de \det(B)? (Opções: (A) 18, (B) 16, (C) 14, (D) 12, (E) 10, (F) 8, (G) 6, (H) 4.)
Passo 2
Observação importante que vem direto do enunciado (explico por que): se A tem colunas \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}, então dado um vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} temos
Portanto cada coluna \vec{b}_{j} que é uma combinação linear dos \vec{a}_{i} pode ser escrita como A multiplicada pelo vetor coluna de coeficientes. Assim existe uma matriz M cujas colunas são os vetores de coeficientes, e vale
B = A M.
A matriz M é justamente a matriz cujas colunas são os coeficientes dados:
pois, por exemplo, A\begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}=3\vec{a}_{1}+3\vec{a}_{2}+4\vec{a}_{3}=\vec{b}_{1}, etc.]
Passo 3
Agora uso uma propriedade chave do determinante: para matrizes quadradas da mesma dimensão vale
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Aplicando com A e M acima obtemos
\det(B)=\det(A M)=\det(A)\det(M).
Portanto, para encontrar \det(B) basta calcular \det(M) e multiplicar por \det(A)=-2.
Passo 4
Vou calcular \det(M). Para uma matriz 3\times3
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}
uma forma prática é a regra de Sarrus:
\det=\;a e i + b f g + c d h - (c e g + b d i + a f h).
No nosso caso a=3, b=7, c=2, d=3, e=5, f=3, g=4, h=3, i=7. Substituindo:
calculemos os termos positivos:
a e i = 3\cdot 5\cdot 7 = 105,
b f g = 7\cdot 3\cdot 4 = 84,
c d h = 2\cdot 3\cdot 3 = 18.
Soma dos positivos: 105+84+18=207.
Agora os termos subtraídos:
c e g = 2\cdot 5\cdot 4 = 40,
b d i = 7\cdot 3\cdot 7 = 147,
a f h = 3\cdot 3\cdot 3 = 27.
Soma dos negativos: 40+147+27=214.
Portanto
\det(M)=207-214=-7.]
Passo 5
Finalmente
\det(B)=\det(A)\det(M)=(-2)\cdot(-7)=14.
Ótimo — deu um número positivo. Isso corresponde à alternativa (C). Força aí — lembra desse argumento rápido na prova: identificar a matriz de coeficientes e usar \det(AB)=\det(A)\det(B).