Q3: Calcule det \left(\left[\begin{array}{rrrrr}0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 5 & 3 & 3 & 6 \\\\ 2 & -1 & -1 & 0 & 0 \\\\ 2 & -1 & -1 & 1 & -2\end{array}\right]\right).
Dica: Calcule via escalonamento.
(A) -23
(B) -22
(C) -21
(D) -20
(E) -19
(F) -18
(G) -17
(H) -16
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 5\times5 usando escalonamento. O conteúdo é cálculo de determinante via operações elementares de linha, lembrando que trocar duas linhas muda o sinal do determinante e que somar múltiplos de uma linha a outra não altera o seu valor.

Passo 2

Começamos trocando a linha 1 com a linha 2 para colocar um “1” no pivô \bigl(1\leftrightarrow2\bigr), o que multiplica o determinante por -1. A matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3\\\\ 2 & 5 & 3 & 3 & 6\\\\ 2 & -1 & -1 & 0 & 0\\\\ 2 & -1 & -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Em seguida, zeramos a coluna 1 nas linhas 3, 4 e 5 subtraindo 2 vezes a linha 1 dessas linhas:
\begin{aligned} R_3&\leftarrow R_3-2R_1=(0,3,1,1,4),\\\ R_4&\leftarrow R_4-2R_1=(0,-3,-3,-2,-2),\\\ R_5&\leftarrow R_5-2R_1=(0,-3,-3,-1,-4). \end{aligned}
Agora a matriz tem bloco de pivôs na primeira coluna e as linhas 2 a 5 formam um subbloco 4\times4 nas colunas 2–5.

Passo 3

Isolamos o subbloco
B = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 & 3\\\\ 3 & 1 & 1 & 4\\\\ -3 & -3 & -2 & -2\\\\ -3 & -3 & -1 & -4 \end{pmatrix},
de modo que
\det(A) = -1\cdot 1\cdot \det(B) = -\det(B).

Passo 4

Aplicamos operações em B que não alteram seu determinante além de trocar linhas (não fizemos trocas agora):
\begin{aligned} R_2&\leftarrow R_2-R_1=(0,-2,-2,1),\\\ R_3&\leftarrow R_3+R_1=(0,0,1,1),\\\ R_4&\leftarrow R_4+R_1=(0,0,2,-1). \end{aligned}
Fica
B\;\longrightarrow\;\begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 & 3\\\\ 0 & -2 & -2 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Como só o primeiro elemento da coluna 1 é não nulo, expandimos por cofactor nessa coluna:
\det(B) =3\;\det\begin{pmatrix} -2 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Nesse menor 3\times3,
\det\begin{pmatrix} -2 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} =-2\bigl(1\cdot(-1)-1\cdot2\bigr) = -2(-3)=6.
Logo \det(B)=3\cdot6=18 e
\det(A)=-\det(B)=-18.

Resposta

(F) -18

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