Q1: Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=4 \vec{a}_{1}+4 \vec{a}_{2}+6 \vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=5 \vec{a}_{1}+6 \vec{a}_{2}+7 \vec{a}_{3} e \vec{b}_{3}=4 \vec{a}_{1}+2 \vec{a}_{2}+5 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=3, assinale o valor do \operatorname{det}(B) :
(A) -36
(B) -33
(C) -30
(D) -27
(E) -24
(F) -21
(G) -18
(H) -15
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que A é a matriz cujas colunas são \vec a_{1},\vec a_{2},\vec a_{3} e B é a matriz cujas colunas são combinações lineares dessas colunas de A. Vamos usar a propriedade de determinante de produto de matrizes para escrever B em função de A e de uma matriz de coeficientes, calcular o determinante dessa última e obter \det(B).

Passo 2

Como cada coluna \vec b_j de B é combinação linear das colunas de A, podemos escrever
B = A\,C,
onde
C = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 4\\\\ 4 & 6 & 2\\\\ 6 & 7 & 5 \end{pmatrix}
é a matriz cujas colunas contêm os coeficientes das combinações dadas.

Passo 3

Usamos a propriedade
\det(B) = \det(A\,C) = \det(A)\,\det\text{(C)}.
Sabemos que \det(A)=3, então falta achar \det\text{(C)}.

Passo 4

Calculemos \det\text{(C)} por expansão de Laplace na primeira linha:
\det\text{(C)} =4\bigl(6\cdot5 - 2\cdot7\bigr) -5\bigl(4\cdot5 - 2\cdot6\bigr) +4\bigl(4\cdot7 - 6\cdot6\bigr).
Agora os cálculos internos:
6\cdot5 - 2\cdot7 =30 -14=16,\quad 4\cdot5 - 2\cdot6 =20 -12=8,\quad 4\cdot7 - 6\cdot6 =28 -36=-8.
Logo,
\det\text{(C)}=4\cdot16 - 5\cdot8 + 4\cdot(-8) =64 -40 -32 = -8.

Passo 5

Agora
\det(B)=\det(A)\,\det\text{(C)}=3\cdot(-8)=-24.

Resposta

(E) -24

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