Questão 2 (35 pontos). Seja A=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 2 \\\\ 2 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)
(a) Calcule os autovalores de A.
(b) Para cada autovalor encontrado no item ( a ), encontre um autovetor associado.
(c) A matriz A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que P^{-1} A P é diagonal; se não for, justifique.
e pede: (a) os autovalores de A; (b) um autovetor para cada autovalor; (c) verificar se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar P tal que P^{-1}AP seja diagonal.
O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores de matrizes quadradas e critério de diagonalização (algebricidade versus multiplicidade geométrica).
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal. Logo, o polinômio característico é
A - (-1)I = A + I = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2\\\\ 2 & 0 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
O sistema dá -2x + 2z = 0, ou seja z = x, e y é livre.
Um gerador da parte x,z é (1,0,1) e de y é (0,1,0). Logo, a base do espaço próprio de \lambda=-1 é
A multiplicidade algébrica de \lambda=-3 é 1 e sua multiplicidade geométrica é 1. A de \lambda=-1 é 2 e sua geométrica também é 2 (vetores v_2,v_3 são independentes). Como soma geométrica =3= ordem de A, concluímos que A é diagonalizável.
Passo 5
Escolhendo como colunas de P os autovetores \{v_1,v_2,v_3\} na mesma ordem dos autovalores, temos
(a) Os autovalores são -3 (simples) e -1 (multiplicidade algébrica 2).
(b) Um autovetor para \lambda=-3 é (-1,1,0)^{T}. Para \lambda=-1, a base do espaço próprio é \{(1,0,1)^{T},\,(0,1,0)^{T}\}.
(c) Sim, A é diagonalizável. Pode-se tomar