Q5: A matriz que representa a projeção sobre o plano
6 x+6 y+3 z=0 \mathrm{em}^{3} pode ser obtida pelo seguinte cál culo:
(A) \left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 6 \\\\ 0 & -3 & 6 \\\\ -6 & 6 & 3\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 6 \\\\ 0 & -3 & 6 \\\\ -6 & 6 & 3\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 6 \\\\ 0 & -3 & 6 \\\\ -6 & 6 & 3\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 6 \\\\ 0 & -3 & 6 \\\\ -6 & 6 & 3\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 6 \\\\ 0 & -3 & 6 \\\\ -6 & 6 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 6 \\\\ 0 & -3 & 6 \\\\ -6 & 6 & 3\end{array}\right]^{-1}
(D) \left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 6 \\\\ 0 & -3 & 6 \\\\ -6 & 6 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 6 \\\\ 0 & -3 & 6 \\\\ -6 & 6 & 3\end{array}\right]^{-1}
(E) \left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 6 \\\\ 0 & -3 & 6 \\\\ -6 & 6 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 6 \\\\ 0 & -3 & 6 \\\\ -6 & 6 & 3\end{array}\right]^{-1}
(F) \left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 6 \\\\ 0 & -3 & 6 \\\\ -6 & 6 & 3\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 6 \\\\ 0 & -3 & 6 \\\\ -6 & 6 & 3\end{array}\right]
(G) Não sei

Passo 1

O enunciado pede a matriz da projeção ortogonal sobre o plano
6x+6y+3z=0
em \mathbb{R}^3. O conteúdo envolvido é mudança de base e projeção em subespaço: vamos achar uma base do plano e o vetor normal, montar a matriz de mudança de base M, usar a matriz de projeção em coordenadas e voltar à base canônica.

Passo 2

Escolhemos vetores que formam base do plano e o vetor normal. Note que
v_1=(3,0,-6),\quad v_2=(0,-3,6)
satisfazem 6x+6y+3z=0, e o normal é
n=(6,6,3).
Montamos
M = \bigl[v_1\;v_2\;n\bigr] = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 6\\\\ 0 & -3 & 6\\\\ -6 & 6 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Em coordenadas dessa base, um vetor x tem coordenadas c tais que x=M\,c. A projeção ortogonal sobre o plano zera a componente na direção de n, ou seja, envia
c=(c_1,c_2,c_3) \;\mapsto\; (c_1,c_2,0).
Em matriz, essa operação em coordenadas é
P_{\text{coord}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para voltar à base canônica, conjugamos por M. Assim, a matriz da projeção é
P = M \,P_{\text{coord}}\,M^{-1}.
Isso corresponde exatamente à alternativa (D).

Resposta

(D)

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