Q4: Seja
uma matriz quadrada
. Considere as afirmativas abaixo:
I - O posto de
é
.
II - O conjunto de colunas de
gerao
.
(A) To das são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - O posto de
II - O conjunto de colunas de
(A) To das são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
de ordem
com
e pede para avaliar as duas afirmações abaixo usando conceitos de determinante, posto (rank) e espaço gerado pelas colunas:
I – “O posto de é
.”
II – “O conjunto de colunas de gera
.”
I – “O posto de
II – “O conjunto de colunas de
Passo 2
Determinante zero significa que
é singular (não invertível). Um teorema clássico de álgebra linear diz que
Logo, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
O espaço gerado pelas colunas de
(coluna-space) tem dimensão igual a
. Como já vimos
, a coluna-space é um subespaço de dimensão menor que
, e portanto não pode ser todo
. Assim, a afirmação II é falsa.
Passo 4
Concluímos que apenas I é verdadeira e II é falsa, correspondendo à alternativa (B).
Resposta
(B)