Q4: Seja A uma matriz quadrada n \times n \operatornamecom \operatornamedet A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - O posto de A é <n.
II - O conjunto de colunas de A gerao \mathbb{R}^{n}.
(A) To das são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem n com \det(A)=0 e pede para avaliar as duas afirmações abaixo usando conceitos de determinante, posto (rank) e espaço gerado pelas colunas:
I – “O posto de A é <n.”
II – “O conjunto de colunas de A gera \mathbb{R}^n.”

Passo 2

Determinante zero significa que A é singular (não invertível). Um teorema clássico de álgebra linear diz que
\det(A)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{rank}(A)<n.
Logo, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

O espaço gerado pelas colunas de A (coluna-space) tem dimensão igual a \mathrm{rank}(A). Como já vimos \mathrm{rank}(A)<n, a coluna-space é um subespaço de dimensão menor que n, e portanto não pode ser todo \mathbb{R}^n. Assim, a afirmação II é falsa.

Passo 4

Concluímos que apenas I é verdadeira e II é falsa, correspondendo à alternativa (B).

Resposta

(B)

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