Q4: Seja
uma matriz quadrada
com
. Considere as afirmativas abaixo:
I -
é injetiva.
II - O conjunto de linhas de
é linearmente independente.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I -
II - O conjunto de linhas de
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada
com
. Isso significa que
é invertível. Precisamos verificar duas afirmações:
I – é injetiva.
II – O conjunto de linhas de é linearmente independente.
I –
II – O conjunto de linhas de
Passo 2
Para ver que
é injetiva, lembramos que uma transformação linear
é injetiva se e só se
. Como
,
é invertível e, portanto, só a única solução da equação
é
. Logo
e
é injetiva.
Passo 3
Para mostrar que as linhas de
são linearmente independentes, usamos que para qualquer matriz
vale
Como
,
. Então
, o que significa que as
linhas de
formam um conjunto de dimensão
. Portanto, elas são linearmente independentes.
Resposta
(D) Todas são verdadeiras.