Q4: Seja A uma matriz quadrada n \times n com \operatorname{det} A \neq 0. Considere as afirmativas abaixo:
I - A é injetiva.
II - O conjunto de linhas de A é linearmente independente.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada n\times n com \det A\neq 0. Isso significa que A é invertível. Precisamos verificar duas afirmações:
I – A é injetiva.
II – O conjunto de linhas de A é linearmente independente.

Passo 2

Para ver que A é injetiva, lembramos que uma transformação linear A\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^n é injetiva se e só se \ker(A)=\{0\}. Como \det A\neq 0, A é invertível e, portanto, só a única solução da equação
A x = 0
é x=0. Logo \ker(A)=\{0\} e A é injetiva.

Passo 3

Para mostrar que as linhas de A são linearmente independentes, usamos que para qualquer matriz n\times n vale
\text{posto}(A)=\text{posto}(A^T).
Como \det A\neq 0, \text{posto}(A)=n. Então \text{posto}(A^T)=n, o que significa que as n linhas de A formam um conjunto de dimensão n. Portanto, elas são linearmente independentes.

Resposta

(D) Todas são verdadeiras.

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