Q3: Calcule det \left(\left[\begin{array}{rrrrr}0 & 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -2 & 8 & 9 & 9 & 7 \\\\ -2 & -7 & -7 & -8 & -9 \\\\ -1 & 4 & 4 & 6 & 5\end{array}\right]\right).
Dica: Calcule via escalonamento.
(A) -21
(B) -20
(C) -19
(D) -18
(E) -17
(F) -16
(G) -15
(H) -14
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado pede o valor de \det(A), onde
A = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -2 & 8 & 9 & 9 & 7 \\\\ -2 & -7 & -7 & -8 & -9 \\\\ -1 & 4 & 4 & 6 & 5 \end{pmatrix}.
O conteúdo é determinante de matriz 5\times5 e vamos usar escalonamento (operações elementares sobre linhas), rastreando eventuais trocas de linha que alteram o sinal do determinante.

Passo 2

Para ter um pivô fácil em \;(1,1)\;, trocamos \text{R}_1\leftrightarrow\text{R}_2. Isso inverte o sinal do determinante. Definimos
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ -2 & 8 & 9 & 9 & 7 \\\\ -2 & -7 & -7 & -8 & -9 \\\\ -1 & 4 & 4 & 6 & 5 \end{pmatrix},
de modo que
\det(M) = -\,\det(A).

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô em coluna 1 usando \text{R}_3\!\to\!\text{R}_3+2\,\text{R}_1, \text{R}_4\!\to\!\text{R}_4+2\,\text{R}_1 e \text{R}_5\!\to\!\text{R}_5+\text{R}_1. Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ 0 & 10 & 11 & 11 & 9 \\\\ 0 & -5 & -5 & -6 & -7 \\\\ 0 & 5 & 5 & 7 & 6 \end{pmatrix}.
Como o pivô em (1,1) vale 1, temos
\det(M)=1\cdot\det(B),
onde B é a submatriz das linhas 2 a 5 e colunas 2 a 5.

Passo 4

Definimos
B = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ 10 & 11 & 11 & 9 \\\\ -5 & -5 & -6 & -7 \\\\ 5 & 5 & 7 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 5

Eliminamos em B a primeira coluna abaixo do pivô 5 (linha 1 do bloco) por
\text{L}_2\!\to\!\text{L}_2-2\,\text{L}_1,
\text{L}_3\!\to\!\text{L}_3+\text{L}_1,
\text{L}_4\!\to\!\text{L}_4-\text{L}_1. Fica
B\sim \begin{pmatrix} 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Eliminamos abaixo do pivô -1 em posição (3,3) por \text{L}_4\!\to\!\text{L}_4+2\,\text{L}_3, obtendo a forma triangular
B\sim \begin{pmatrix} 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 7

Agora \det(B) é o produto dos pivôs da matriz triangular:
\det(B)=5 \times 1 \times (-1)\times(-3)=15.
Como \det(M)=\det(B), temos \det(M)=15.

Passo 8

Voltando a A, lembramos que \det(M)=-\det(A). Portanto
\det(A)=-\det(M)=-15.

Resposta

(G) -15

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