Q1: Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=7 \vec{a}_{1}+4 \vec{a}_{2}+7 \vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=5 \vec{a}_{1}+2 \vec{a}_{2}+6 \vec{a}_{3} \quad e \quad \vec{b}_{3}=7 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+2 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=-4, assinale o valor \operatorname{do} \operatorname{det}(B) :
(A) -32
(B) -36
(C) -40
(D) -44
(E) -48
(F) -52
(G) -56
(H) -60
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} cujas colunas são \vec a_{1},\vec a_{2},\vec a_{3} e outra matriz B cujas colunas são combinações lineares desses vetores. Sabemos que \det(A)=-4 e queremos \det(B). O conteúdo é propriedade de determinante sob combinações de colunas (produto de matrizes).

Passo 2

Como cada coluna de B é combinação das colunas de A, existe uma matriz M tal que
B = A\,M
e portanto
\det(B)=\det(A)\,\det(M).
Pelas fórmulas dadas, as colunas de M são os coeficientes das combinações:
M = \begin{pmatrix} 7 & 5 & 7\\\\ 4 & 2 & 6\\\\ 7 & 6 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular \det(M) desenvolvendo pela primeira linha:
\det(M) =7\det\!\begin{pmatrix}2 & 6\\\ 6 & 2\end{pmatrix} -5\det\!\begin{pmatrix}4 & 6\\\ 7 & 2\end{pmatrix} +7\det\!\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 7 & 6\end{pmatrix}.
Cada menor é
\det\begin{pmatrix}2 & 6\\\ 6 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-6\cdot6=4-36=-32,
\det\begin{pmatrix}4 & 6\\\ 7 & 2\end{pmatrix}=4\cdot2-6\cdot7=8-42=-34,
\det\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 7 & 6\end{pmatrix}=4\cdot6-2\cdot7=24-14=10.
Logo,
\det(M)=7(-32)-5(-34)+7\cdot10=-224+170+70=16.
(Oops! veja que houve inversão de linha e coluna no primeiro menor: o correto é usar a submatriz de M tirando linha 1 e coluna 1, que é \smash{\begin{pmatrix}2&6\\\ 6&2\end{pmatrix}}, e assim por diante.)

Passo 4

Corrigindo o cálculo:
\det\begin{pmatrix}2 & 6\\\ 6 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-6\cdot6=4-36=-32,
\det\begin{pmatrix}4 & 6\\\ 7 & 2\end{pmatrix}=4\cdot2-6\cdot7=8-42=-34,
\det\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 7 & 6\end{pmatrix}=4\cdot6-2\cdot7=24-14=10,
logo
\det(M)=7(-32)-5(-34)+7\cdot10=-224+170+70=16.
Portanto
\det(B)=\det(A)\det(M)=(-4)\cdot16=-64,
que não está entre as opções. Isso indica erro na construção de M.

Passo 5

Revisando a matriz M corretamente a partir dos enunciados:
\vec b_{1}=7\vec a_{1}+4\vec a_{2}+7\vec a_{3},
\vec b_{2}=5\vec a_{1}+2\vec a_{2}+6\vec a_{3},
\vec b_{3}=7\vec a_{1}+7\vec a_{2}+2\vec a_{3}.
Assim
M = \begin{pmatrix} 7 & 5 & 7\\\\ 4 & 2 & 7\\\\ 7 & 6 & 2 \end{pmatrix}.
Refazendo \det(M):
\det(M) =7\det\!\begin{pmatrix}2 & 7\\\ 6 & 2\end{pmatrix} -5\det\!\begin{pmatrix}4 & 7\\\ 7 & 2\end{pmatrix} +7\det\!\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 7 & 6\end{pmatrix}.
Os menores são
2\cdot2-7\cdot6=4-42=-38,\quad 4\cdot2-7\cdot7=8-49=-41,\quad 4\cdot6-2\cdot7=24-14=10.
Logo
\det(M)=7(-38)-5(-41)+7\cdot10=-266+205+70=9.
Então
\det(B)=(-4)\cdot9=-36,
que corresponde à alternativa (B).

Resposta

-36

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