Q1: Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=7 \vec{a}_{1}+4 \vec{a}_{2}+7 \vec{a}_{3}, \vec{b}_{2}=5 \vec{a}_{1}+2 \vec{a}_{2}+6 \vec{a}_{3} \quad e \quad \vec{b}_{3}=7 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+2 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=-4, assinale o valor \operatorname{do} \operatorname{det}(B) :
(A) -32
(B) -36
(C) -40
(D) -44
(E) -48
(F) -52
(G) -56
(H) -60
(I) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} cujas colunas são \vec a_{1},\vec a_{2},\vec a_{3} e outra matriz B cujas colunas são combinações lineares desses vetores. Sabemos que \det(A)=-4 e queremos \det(B). O conteúdo é propriedade de determinante sob combinações de colunas (produto de matrizes).
Passo 2
Como cada coluna de B é combinação das colunas de A, existe uma matriz M tal que
B = A\,M
e portanto
\det(B)=\det(A)\,\det(M).
Pelas fórmulas dadas, as colunas de M são os coeficientes das combinações:
(Oops! veja que houve inversão de linha e coluna no primeiro menor: o correto é usar a submatriz de M tirando linha 1 e coluna 1, que é \smash{\begin{pmatrix}2&6\\\ 6&2\end{pmatrix}}, e assim por diante.)
que não está entre as opções. Isso indica erro na construção de M.
Passo 5
Revisando a matriz M corretamente a partir dos enunciados: \vec b_{1}=7\vec a_{1}+4\vec a_{2}+7\vec a_{3}, \vec b_{2}=5\vec a_{1}+2\vec a_{2}+6\vec a_{3}, \vec b_{3}=7\vec a_{1}+7\vec a_{2}+2\vec a_{3}.
Assim