Q4: Seja A uma matriz quadrada n \times n \operatorname{com} \operatorname{det} A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - A não é sobrejetiva.
II - O sistema homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} possui solução única.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A\in\mathbb{R}^{n\times n} com \det A = 0. Precisamos analisar duas afirmações:
I – “ A não é sobrejetiva”
II – “o sistema homogêneo A\vec{x} = \vec{0} possui solução única”
Usaremos a teoria que relaciona determinante, invertibilidade, sobrejetividade/injetividade e dimensão do núcleo.

Passo 2

Como \det A = 0, a matriz A é singular, ou seja, não é invertível. Num espaço de mesma dimensão, um operador linear é invertível se e somente se é bijetivo. Logo, A não é sobrejetiva. Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

A singularidade de A implica que o núcleo de A, \ker A = \{\vec x\mid A\vec x=\vec0\}, tem dimensão positiva. Isso significa que existem infinitas soluções não triviais de A\vec x=\vec0, de modo que a solução não é única. Assim, a afirmação II é falsa.

Passo 4

Concluímos que apenas I é verdadeira e II é falsa.

Resposta

(B) Apenas I é verdadeira.

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