Q4: Seja
uma matriz quadrada
. Considere as afirmativas abaixo:
I -
não é sobrejetiva.
II - O sistema homogêneo
possui solução única.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I -
II - O sistema homogêneo
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
com
. Precisamos analisar duas afirmações:
I – “ não é sobrejetiva”
II – “o sistema homogêneo possui solução única”
Usaremos a teoria que relaciona determinante, invertibilidade, sobrejetividade/injetividade e dimensão do núcleo.
I – “
II – “o sistema homogêneo
Usaremos a teoria que relaciona determinante, invertibilidade, sobrejetividade/injetividade e dimensão do núcleo.
Passo 2
Como
, a matriz
é singular, ou seja, não é invertível. Num espaço de mesma dimensão, um operador linear é invertível se e somente se é bijetivo. Logo,
não é sobrejetiva. Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
A singularidade de
implica que o núcleo de
,
, tem dimensão positiva. Isso significa que existem infinitas soluções não triviais de
, de modo que a solução não é única. Assim, a afirmação II é falsa.
Passo 4
Concluímos que apenas I é verdadeira e II é falsa.
Resposta
(B) Apenas I é verdadeira.