Q5: A matriz que representa a projeção sobre o plano -2 x+6 y+2 z=0 \mathrm{em}^{3} pode ser obtida pelo seguinte cálculo:
(A) \left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 2 \\\\ 6 & -2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{rrr}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 2 \\\\ 6 & -2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 2 \\\\ 6 & -2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 2 \\\\ 6 & -2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 2 \\\\ 6 & -2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 2 \\\\ 6 & -2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2\end{array}\right]^{-1}
(D) \left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 2 \\\\ 6 & -2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 2 \\\\ 6 & -2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2\end{array}\right]^{-1}
(E) \left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 2 \\\\ 6 & -2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 2 \\\\ 6 & -2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2\end{array}\right]^{-1}
(F) \left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 2 \\\\ 6 & -2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 2 \\\\ 6 & -2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2\end{array}\right]
(G) Não sei

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de \mathbb{R}^3 sobre o plano dado por
-2x + 6y + 2z = 0.
Vamos usar mudança de base: escolhemos uma base B cujos vetores colunas são o vetor normal ao plano e dois vetores que geram o plano.

Passo 2

Tomamos como matriz de passagem para a base B a matriz cujas colunas são
v_1 = (-2,6,2),\quad v_2=(0,-2,6),\quad v_3=(2,0,2),
ou seja,
B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\\\ 6 & -2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 2 \end{pmatrix}.
Aqui v_1 é normal ao plano e v_2,v_3 estão no plano.

Passo 3

Na base B, projetar no plano significa anular a primeira coordenada (direção normal) e manter as outras duas. Logo, a matriz de projeção em coordenadas B é
D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Voltando à base canônica, a matriz da projeção é dada por
P = B \,D\, B^{-1}.
Isso coincide exatamente com a alternativa (E).

Resposta

(E)

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