Calcule det \left[\begin{array}{rrr}3 & -1 & 2 \\\\ 0 & 4 & 5 \\\\ 1 & 3 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 3\times3:
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2\\\\ 0 & 4 & 5\\\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 3\times3, e vamos usar a regra de Sarrus para resolver.

Passo 2

Pela regra de Sarrus, para
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
temos
\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Substituindo os elementos de A:
\det(A) = 3\cdot4\cdot2 \;+\; (-1)\cdot5\cdot1 \;+\; 2\cdot0\cdot3 \;-\;\bigl(2\cdot4\cdot1 \;+\; 3\cdot5\cdot3 \;+\; (-1)\cdot0\cdot2\bigr).

Passo 3

Calcular a soma dos três produtos positivos:
3\cdot4\cdot2 = 24,\quad (-1)\cdot5\cdot1 = -5,\quad 2\cdot0\cdot3 = 0,
logo a soma é
24 + (-5) + 0 = 19.

Passo 4

Calcular a soma dos três produtos na parte negativa:
2\cdot4\cdot1 = 8,\quad 3\cdot5\cdot3 = 45,\quad (-1)\cdot0\cdot2 = 0,
logo a soma é
8 + 45 + 0 = 53.

Passo 5

Subtraindo as parcelas:
\det(A) = 19 - 53 = -34.

Resposta

-34

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