Resolva os sistemas lineares dados encontrando as matrizes ampliadas linha reduzida à forma escada e determinando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
b) \left\{\begin{aligned} x+y & =1 \\\\ 2 x-y & =5 \\\\ 2 x-4 y & =2\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x+y = 1,\\\\ 2x - y = 5,\\\\ 2x - 4y = 2, \end{cases}
encontrando a matriz ampliada, reduzindo-a à forma escalonada, determinando o posto da matriz dos coeficientes A e o posto da matriz ampliada (A\mid b) e, se possível, o grau de liberdade. O conteúdo aqui é redução de matrizes e cálculo de posto em sistemas lineares.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada (A\mid b):
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & 5\\\\ 2 & -4 & 2 \end{array}\right].

Passo 3

Aplicamos operações elementares para zerar abaixo de a_{11}.
R2 \leftarrow R2 -2,R1 e R3 \leftarrow R3 -2,R1 dão
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -3 & 3\\\\ 0 & -6 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Agora zeramos abaixo de -3 em posição (2,2).
R3 \leftarrow R3 -2,R2 resulta em
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -3 & 3\\\\ 0 & 0 & -6 \end{array}\right],
que é a forma escalonada.

Passo 5

Da forma escalonada vemos que as duas primeiras linhas da parte de coeficientes são não nulas, mas a terceira linha de A é zero. Já a terceira linha da parte ampliada é [0\;\,0\mid -6]\neq[0\;0\mid0].

Passo 6

O posto da matriz dos coeficientes A é
\mathrm{rank}(A)=2
e o posto da matriz ampliada é
\mathrm{rank}(A\mid b)=3.
Como \mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}(A\mid b), o sistema é impossível, ou seja, não tem solução.

Resposta

O sistema é impossível. \mathrm{rank}(A)=2, \mathrm{rank}(A\mid b)=3.

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