Calcule o determinante da matriz A, utilizando o método da triangularização:
A=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 7 \\ 1 & 3 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \det(A) da matriz \r
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 7\\\\ 1 & 3 & 2\\\\ 5 & 3 & 4 \end{pmatrix}\r
usando triangularização. Vamos aplicar apenas operações elementares de linha do tipo III (adição de múltiplos de uma linha em outra), que não alteram o determinante, e depois tomar o produto dos elementos na diagonal principal.

Passo 2

Zeramos os elementos abaixo de a_{11}=2 com\r
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac12\,R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac52\,R_1.\r
Isso leva a\r
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 7\\\\ 0 & \tfrac{5}{2} & -\tfrac{3}{2}\\\\ 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{27}{2} \end{pmatrix}.

Passo 3

Zeramos o elemento (3,2) usando\r
R_3 \leftarrow R_3 - \Bigl(\tfrac{\tfrac12}{\tfrac52}\Bigr)R_2 =R_3 - \tfrac15\,R_2,\r
o que resulta em forma triangular:\r
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 7\\\\ 0 & \tfrac{5}{2} & -\tfrac{3}{2}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{66}{5} \end{pmatrix}.

Passo 4

Como só usamos operações do tipo III, o determinante é o produto dos pivôs na diagonal:\r
\det(A) =2 \cdot \frac{5}{2} \cdot \Bigl(-\frac{66}{5}\Bigr) =-66.

Resposta

\det(A)=-66

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