Dado o sistema linear
\left\{\begin{aligned} x+y & =3 \\\ x+\left(a^{2}-8\right) y & =a . \end{aligned}\right.
Determine os valores de a (caso existam) para os quais o sistema admita
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + y = 3,\\\ x + \bigl(a^{2}-8\bigr)\,y = a, \end{cases}
e pede os valores de a para os quais ele tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos usar o determinante da matriz de coeficientes para classificar o sistema.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & a^{2}-8 \end{pmatrix},
cujo determinante é
\Delta = 1\cdot \bigl(a^{2}-8\bigr) - 1\cdot 1 = a^{2}-9 = (a-3)(a+3).

Passo 3

Se \Delta \neq 0, isto é, a^{2}\neq 9 (ou seja, a\neq 3 e a\neq -3), as duas retas são distintas e não paralelas, então o sistema admite uma única solução.

Passo 4

Quando \Delta=0 temos a=3 ou a=-3.
Para a=3 a segunda equação fica
x + (3^{2}-8)\,y =3\quad\Longrightarrow\quad x+y=3,
que é a mesma da primeira, gerando infinitas soluções.
Para a=-3 a segunda equação fica
x + ((-3)^{2}-8)\,y = -3\quad\Longrightarrow\quad x+y=-3,
que contradiz x+y=3, logo não há solução.

Resposta

a) Uma única solução para a\neq 3 e a\neq -3.
b) Infinitas soluções para a=3.
c) Nenhuma solução para a=-3.

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