Calcule det A, onde A=[cccc1 & 3 & 2 & 1 2 & 5 & 6 & 2 -3 & -2 & 7 & -3 1 & 3 & 2 & 2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz AinR^4times4, logo o conteúdo é determinante de matriz e uso de operações elementares de linha para simplificar a conta sem alterar (ou alterando de modo controlado) o valor do determinante.

Passo 2

Vamos usar operações de linha que não mudam o determinante (somar múltiplos de uma linha em outra):
A= 1 & 3 & 2 & 1 2 & 5 & 6 & 2 -3 & -2 & 7 & -3 1 & 3 & 2 & 2
Fazemos
R2 R2-2R1, R3 R3+3R1, R4 R4-R1,
obtendo
1 & 3 & 2 & 1 0 & -1 & 2 & 0 0 & 7 & 13 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Passo 3

A última linha tem só o elemento (4,4)=1 diferente de zero, logo ao expandir o determinante pela linha 4 vem
det A = 1cdot(-1)^4+4det 1 & 3 & 2 0 & -1 & 2 0 & 7 & 13 = det B,
onde
B= 1 & 3 & 2 0 & -1 & 2 0 & 7 & 13

Passo 4

Calculamos det B por expansão na primeira linha (regra de Sarrus ou cofactores):
det B =1cdotdet-1&27&13 -3cdotdet0&20&13 +2cdotdet0&-10&7
Agora
det-1&27&13 =(-1)cdot13-2cdot7=-13-14=-27,
enquanto os outros dois menores são zero porque cada um tem uma linha inteira de zeros. Assim
det B = 1cdot(-27)-3cdot0+2cdot0 = -27

Resposta

det A = -27

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