Se a transformação de dilatação é definida por sendo , determine:
a matriz de transformação padrão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrarmos a matriz de transformação padrão de uma dilatação no espaço tridimensional. Esse assunto está relacionado a transformações lineares em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma dilatação usando uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma dilatação. Uma dilatação é uma transformação que amplia ou reduz os vetores por um fator constante. No caso, a transformação é dada por , o que significa que cada componente do vetor será multiplicado por 1.5.
Passo 3
Agora, precisamos saber como representar essa transformação como uma matriz. Em , uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que . Como estamos fazendo uma dilatação uniforme, todos os componentes serão multiplicados pelo mesmo fator, 1.5.
Passo 4
Então, a matriz de transformação padrão para uma dilatação uniforme em é uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal são iguais ao fator de dilatação, e os demais elementos são zero. Isso porque cada coordenada , e é multiplicada independentemente pelo fator.
Passo 5
Montando a matriz, temos:
Essa é a matriz que realiza a dilatação desejada em R^3.