Se a transformação de dilatação é definida por T: R^3 R^3 sendo T(x)=1.5 x, determine:
a matriz de transformação padrão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrarmos a matriz de transformação padrão de uma dilatação no espaço tridimensional. Esse assunto está relacionado a transformações lineares em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma dilatação usando uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma dilatação. Uma dilatação é uma transformação que amplia ou reduz os vetores por um fator constante. No caso, a transformação é dada por T(x) = 1.5 x, o que significa que cada componente do vetor x será multiplicado por 1.5.

Passo 3

Agora, precisamos saber como representar essa transformação como uma matriz. Em R^3, uma transformação linear pode ser representada por uma matriz A tal que T(x) = A x. Como estamos fazendo uma dilatação uniforme, todos os componentes serão multiplicados pelo mesmo fator, 1.5.

Passo 4

Então, a matriz de transformação padrão para uma dilatação uniforme em R^3 é uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal são iguais ao fator de dilatação, e os demais elementos são zero. Isso porque cada coordenada x, y e z é multiplicada independentemente pelo fator.

Passo 5

Montando a matriz, temos:
A = 1.5 & 0 & 0 0 & 1.5 & 0 0 & 0 & 1.5
Essa é a matriz que realiza a dilatação desejada em R^3.

Resposta

A matriz de transformação padrão é:
1.5 & 0 & 0 0 & 1.5 & 0 0 & 0 & 1.5

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