Use as propriedades de determinante para provar que
Passo 1
O enunciado pede para provar que
det 1 & 1 & 1 a+b & a+c & a+d a^2+a b+b^2 & a^2+a c+c^2 & a^2+a d+d^2 = det 1 & 1 & 1 b & c & d b^2 & c^2 & d^2 ,
usando operações elementares de linha do tipo Rito Ri - k,Rj, que não alteram o valor do determinante.
Passo 2
Aplicamos a operação de linha R3to R3-a,R2.
Os novos elementos de R3 são a^2+a b+b^2-a(a+b)=b^2, a^2+a c+c^2-a(a+c)=c^2 e a^2+a d+d^2-a(a+d)=d^2.
Portanto a terceira linha passa a ser [b^2,c^2,d^2].
Passo 3
Em seguida aplicamos R2to R2-a,R1.
Os novos elementos de R2 ficam (a+b)-acdot1=b, (a+c)-acdot1=c e (a+d)-acdot1=d.
Assim a segunda linha torna-se [b,c,d].
Passo 4
Após essas duas operações de linha, que não alteram o determinante, a matriz original transforma-se em
1 & 1 & 1 b & c & d b^2 & c^2 & d^2 ,
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det 1 & 1 & 1 a+b & a+c & a+d a^2+a b+b^2 & a^2+a c+c^2 & a^2+a d+d^2 = det 1 & 1 & 1 b & c & d b^2 & c^2 & d^2
Resposta
det 1 & 1 & 1 a+b & a+c & a+d a^2+a b+b^2 & a^2+a c+c^2 & a^2+a d+d^2 = det 1 & 1 & 1 b & c & d b^2 & c^2 & d^2