Determine a matriz de transformação padrão da projeção sobre o plano xy, i.e. T: R^3 R^2. Esta transformação é uma transformação linear? Esta transformação é ortogonal?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a matriz de transformação padrão para a projeção sobre o plano xy, ou seja, uma transformação T: R^3 R^2. Além disso, temos que verificar se essa transformação é linear e se ela é ortogonal.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, matrizes associadas a essas transformações e propriedades de ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma projeção sobre o plano xy. Em R^3, qualquer ponto pode ser representado por (x, y, z). A projeção desse ponto sobre o plano xy simplesmente “elimina” a componente z, deixando apenas (x, y). Isso significa que a transformação T mapeia (x, y, z) para (x, y).

Passo 3

Agora, vamos determinar a matriz de transformação padrão dessa projeção. Sabemos que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz, onde cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base padrão.
A base padrão de R^3 é formada pelos vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1). Vamos aplicar a transformação T a cada um desses vetores:
  • T(e1) = T(1, 0, 0) = (1, 0)
  • T(e2) = T(0, 1, 0) = (0, 1)
  • T(e3) = T(0, 0, 1) = (0, 0)
Esses resultados formam as colunas da matriz de transformação T:
T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0

Passo 4

Vamos verificar se a transformação T é linear. Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer vetores u e v.
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u) para qualquer escalar c e vetor u.
No nosso caso, a transformação de projeção elimina a componente z sem afetar as componentes x e y. Isso preserva a aditividade e a homogeneidade, pois a soma de vetores e a multiplicação por escalar são tratadas de forma independente em cada componente. Portanto, T é uma transformação linear.

Passo 5

Por último, vamos verificar se a transformação T é ortogonal. Uma transformação linear é ortogonal se sua matriz associada preserva as distâncias e ângulos, ou seja, se a matriz é ortogonal. Uma matriz A é ortogonal se A^T A = I, onde A^T é a transposta de A e I é a matriz identidade.
No nosso caso, a matriz T é:
T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0
Calculando T^T T:
T^T T = 1 & 0 0 & 1 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0
Como o resultado não é a matriz identidade I de ordem 3, a transformação T não é ortogonal.

Resposta

A matriz de transformação padrão da projeção sobre o plano xy é:
T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0
Sim, essa transformação é linear.
Não, essa transformação não é ortogonal.

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