Determine a matriz de transformação padrão da projeção sobre o plano xy, i.e. . Esta transformação é uma transformação linear? Esta transformação é ortogonal?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a matriz de transformação padrão para a projeção sobre o plano xy, ou seja, uma transformação . Além disso, temos que verificar se essa transformação é linear e se ela é ortogonal.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, matrizes associadas a essas transformações e propriedades de ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma projeção sobre o plano xy. Em , qualquer ponto pode ser representado por . A projeção desse ponto sobre o plano xy simplesmente “elimina” a componente , deixando apenas . Isso significa que a transformação mapeia para .
Passo 3
Agora, vamos determinar a matriz de transformação padrão dessa projeção. Sabemos que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz, onde cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base padrão.
A base padrão de é formada pelos vetores , e . Vamos aplicar a transformação a cada um desses vetores:
Esses resultados formam as colunas da matriz de transformação :
Passo 4
Vamos verificar se a transformação T é linear. Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades:
Aditividade:T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer vetores u e v.
Homogeneidade:T(cu) = cT(u) para qualquer escalar c e vetor u.
No nosso caso, a transformação de projeção elimina a componente z sem afetar as componentes x e y. Isso preserva a aditividade e a homogeneidade, pois a soma de vetores e a multiplicação por escalar são tratadas de forma independente em cada componente. Portanto, T é uma transformação linear.
Passo 5
Por último, vamos verificar se a transformação T é ortogonal. Uma transformação linear é ortogonal se sua matriz associada preserva as distâncias e ângulos, ou seja, se a matriz é ortogonal. Uma matriz A é ortogonal se A^T A = I, onde A^T é a transposta de A e I é a matriz identidade.