Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A questão pede para calcular o determinante da matriz A. A matéria envolvida aqui é a de álgebra linear, especificamente o cálculo de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra de Laplace ou utilizar outras técnicas como a eliminação de Gauss. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante de uma matriz quadrada é um número que pode nos dizer muitas coisas sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes 2x2, calcular o determinante é simples, mas para matrizes maiores, precisamos usar métodos mais elaborados.
Passo 3
Nossa matriz A é uma matriz 4x4:
A = i & 3 & 2 & -i 3 & -i & 1 & i 2 & 1 & -1 & 0 -i & i & 0 & 1
Como calcular o determinante diretamente pode ser complicado, vamos simplificar a matriz usando operações de linha que não mudam o valor do determinante.
Passo 4
Vamos usar a expansão de Laplace na primeira linha para calcular o determinante. A fórmula geral para o determinante usando a primeira linha é:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
Onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores correspondentes.
Passo 5
Vamos calcular cada cofator C1j da primeira linha.
Para C11:
Removemos a primeira linha e a primeira coluna:
-i & 1 & i 1 & -1 & 0 i & 0 & 1
O cofator é (-1)^1+1 vezes esse determinante.
Para C12:
Removemos a primeira linha e a segunda coluna:
3 & 1 & i 2 & -1 & 0 -i & 0 & 1
O cofator é (-1)^1+2 vezes esse determinante.
E assim por diante para C13 e C14.
Passo 6
Vamos calcular cada um desses determinantes 3x3.
Primeiro, para C11:
-i & 1 & i 1 & -1 & 0 i & 0 & 1 = (-i) -1 & 0 0 & 1 - 1 1 & 0 i & 1 + i 1 & -1 i & 0