Calcule det A, onde
A=[cccci & 3 & 2 & -i 3 & -i & 1 & i 2 & 1 & -1 & 0 -i & i & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A questão pede para calcular o determinante da matriz A. A matéria envolvida aqui é a de álgebra linear, especificamente o cálculo de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra de Laplace ou utilizar outras técnicas como a eliminação de Gauss. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante de uma matriz quadrada é um número que pode nos dizer muitas coisas sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para matrizes 2x2, calcular o determinante é simples, mas para matrizes maiores, precisamos usar métodos mais elaborados.

Passo 3

Nossa matriz A é uma matriz 4x4:
A = i & 3 & 2 & -i 3 & -i & 1 & i 2 & 1 & -1 & 0 -i & i & 0 & 1
Como calcular o determinante diretamente pode ser complicado, vamos simplificar a matriz usando operações de linha que não mudam o valor do determinante.

Passo 4

Vamos usar a expansão de Laplace na primeira linha para calcular o determinante. A fórmula geral para o determinante usando a primeira linha é:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
Onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores correspondentes.

Passo 5

Vamos calcular cada cofator C1j da primeira linha.
Para C11:
Removemos a primeira linha e a primeira coluna:
-i & 1 & i 1 & -1 & 0 i & 0 & 1
O cofator é (-1)^1+1 vezes esse determinante.
Para C12:
Removemos a primeira linha e a segunda coluna:
3 & 1 & i 2 & -1 & 0 -i & 0 & 1
O cofator é (-1)^1+2 vezes esse determinante.
E assim por diante para C13 e C14.

Passo 6

Vamos calcular cada um desses determinantes 3x3.
Primeiro, para C11:
-i & 1 & i 1 & -1 & 0 i & 0 & 1 = (-i) -1 & 0 0 & 1 - 1 1 & 0 i & 1 + i 1 & -1 i & 0
Calculando cada menor:
(-i)(-1 cdot 1 - 0 cdot 0) = (-i)(-1) = i
-1(1 cdot 1 - 0 cdot i) = -1(1) = -1
i(1 cdot 0 - (-1) cdot i) = i(0 + i) = i^2 = -1
Então, o determinante é i - 1 - 1 = i - 2.
Como o cofator C11 é positivo, temos C11 = i - 2.

Passo 7

Agora, para C12:
3 & 1 & i 2 & -1 & 0 -i & 0 & 1 = 3 -1 & 0 0 & 1 - 1 2 & 0 -i & 1 + i 2 & -1 -i & 0
Calculando cada menor:
3(-1 cdot 1 - 0 cdot 0) = 3(-1) = -3
-1(2 cdot 1 - 0 cdot (-i)) = -1(2) = -2
i(2 cdot 0 - (-1) cdot (-i)) = i(0 - i) = -i^2 = 1
Então, o determinante é -3 - 2 + 1 = -4.
Como o cofator C12 inclui um fator (-1)^1+2 = -1, temos C12 = 4.

Passo 8

Agora, para C13:
3 & -i & i 2 & 1 & 0 -i & i & 1 = 3 1 & 0 i & 1 - (-i) 2 & 0 -i & 1 + i 2 & 1 -i & i
Calculando cada menor:
3(1 cdot 1 - 0 cdot i) = 3(1) = 3
i(2 cdot 1 - 0 cdot (-i)) = i(2) = 2i
i(2 cdot i - 1 cdot (-i)) = i(2i + i) = i(3i) = 3i^2 = -3
Então, o determinante é 3 + 2i - 3 = 2i.
Como o cofator C13 inclui um fator (-1)^1+3 = 1, temos C13 = 2i.

Passo 9

Finalmente, para C14:
3 & -i & 1 2 & 1 & -1 -i & i & 0 = 3 1 & -1 i & 0 - (-i) 2 & -1 -i & 0 + 1 2 & 1 -i & i
Calculando cada menor:
3(1 cdot 0 - (-1) cdot i) = 3(i) = 3i
i(2 cdot 0 - (-1) cdot (-i)) = i(0 - i) = -i^2 = 1
1(2 cdot i - 1 cdot (-i)) = 1(2i + i) = 3i
Então, o determinante é 3i + 1 + 3i = 1 + 6i.
Como o cofator C14 inclui um fator (-1)^1+4 = -1, temos C14 = -1 - 6i.

Passo 10

Agora, vamos substituir tudo na fórmula do determinante:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
Substituindo os valores:
det(A) = i cdot (i - 2) + 3 cdot 4 + 2 cdot 2i + (-i) cdot (-1 - 6i)
Calculando cada termo:
i cdot i = i^2 = -1
i cdot (-2) = -2i
3 cdot 4 = 12
2 cdot 2i = 4i
(-i) cdot (-1) = i
(-i) cdot (-6i) = 6i^2 = -6
Somando tudo:
-1 - 2i + 12 + 4i + i - 6
Agrupando termos semelhantes:
(-1 + 12 - 6) + (-2i + 4i + i) = 5 + 3i

Resposta

O determinante da matriz A é 5 + 3i.

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