Verifique se S é um subespaço do espaço vetorial V sobre o corpo K nos seguintes casos.
V=R^n, S=(x1, x2, ldots, xn) in R^n mid x1 dotx2=0 e K=R.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^n sobre K=R e o subconjunto
S = (x1,x2,dots,xn)inR^n mid x1cdot x2 = 0
Para verificar se S é subespaço, vamos checar: (i) 0in S, (ii) fechamento em multiplicação por escalar e (iii) fechamento em soma.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo. Para (0,0,dots,0) temos
0cdot 0 = 0,
logo (0,0,dots,0)in S.

Passo 3

Fechamento em multiplicação por escalar: seja alphainR e v=(x1,x2,dots,xn)in S. Então
(alpha x1)cdot(alpha x2) = alpha^2,(x1x2) = alpha^2cdot 0 = 0,
então alpha vin S.

Passo 4

Fechamento em soma: considere
v=(1,0,0,dots,0)in S, w=(0,1,0,dots,0)in S
Mas
v+w = (1,1,0,dots,0)
e (1)cdot(1)=1neq 0, então v+wnotin S. Isso viola o fechamento em soma.

Resposta

S não é subespaço de V.

Exercícios relacionados