Encontre A^-1, onde
A=[lll1 & 0 & x 1 & 1 & x^2 2 & 2 & x^2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa da matriz A. Estamos lidando com matrizes e suas inversas, que é um tópico de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes e a matriz adjunta, já que usaremos esses conceitos para achar a inversa de uma matriz 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero. Então, nosso primeiro passo é calcular o determinante da matriz A:
A = 1 & 0 & x 1 & 1 & x^2 2 & 2 & x^2
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui para facilitar.

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus, temos:
det(A) = 1 cdot 1 cdot x^2 + 0 cdot x^2 cdot 2 + x cdot 1 cdot 2 - (x cdot 1 cdot 2 + 0 cdot 1 cdot x^2 + 1 cdot x^2 cdot 2)
Vamos calcular cada termo:
= 1 cdot 1 cdot x^2 = x^2
+ 0 cdot x^2 cdot 2 = 0
+ x cdot 1 cdot 2 = 2x
- (x cdot 1 cdot 2) = -2x
- (0 cdot 1 cdot x^2) = 0
- (1 cdot x^2 cdot 2) = -2x^2
Somando tudo:
det(A) = x^2 + 0 + 2x - 2x - 0 - 2x^2 = -x^2

Passo 4

Agora que temos o determinante, que é -x^2, precisamos garantir que ele não seja zero para que a matriz tenha inversa. Assim, x neq 0.
Assumindo que x neq 0, vamos prosseguir para encontrar a matriz adjunta de A, que é a matriz dos cofatores transposta.

Passo 5

Vamos calcular os cofatores de cada elemento da matriz A:
Para uma matriz 3x3, o cofator Cij é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
onde Mij é o determinante da submatriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
  • C11: Remove a 1ª linha e 1ª coluna:
M11 = 1 & x^2 2 & x^2 = (1)(x^2) - (x^2)(2) = x^2 - 2x^2 = -x^2
C11 = (-1)^1+1 cdot (-x^2) = 1 cdot (-x^2) = -x^2
  • C12: Remove a 1ª linha e 2ª coluna:
M12 = 1 & x^2 2 & x^2 = (1)(x^2) - (x^2)(2) = -x^2
C12 = (-1)^1+2 cdot (-x^2) = -1 cdot (-x^2) = x^2
  • C13: Remove a 1ª linha e 3ª coluna:
M13 = 1 & 1 2 & 2 = (1)(2) - (1)(2) = 0
C13 = (-1)^1+3 cdot 0 = 1 cdot 0 = 0
  • C21: Remove a 2ª linha e 1ª coluna:
M21 = 0 & x 2 & x^2 = (0)(x^2) - (x)(2) = -2x
C21 = (-1)^2+1 cdot (-2x) = -1 cdot (-2x) = 2x
  • C22: Remove a 2ª linha e 2ª coluna:
M22 = 1 & x 2 & x^2 = (1)(x^2) - (x)(2) = x^2 - 2x
C22 = (-1)^2+2 cdot (x^2 - 2x) = 1 cdot (x^2 - 2x) = x^2 - 2x
  • C23: Remove a 2ª linha e 3ª coluna:
M23 = 1 & 0 2 & 2 = (1)(2) - (0)(2) = 2
C23 = (-1)^2+3 cdot 2 = -1 cdot 2 = -2
  • C31: Remove a 3ª linha e 1ª coluna:
M31 = 0 & x 1 & x^2 = (0)(x^2) - (x)(1) = -x
C31 = (-1)^3+1 cdot (-x) = 1 cdot (-x) = -x
  • C32: Remove a 3ª linha e 2ª coluna:
M32 = 1 & x 1 & x^2 = (1)(x^2) - (x)(1) = x^2 - x
C32 = (-1)^3+2 cdot (x^2 - x) = -1 cdot (x^2 - x) = -x^2 + x
  • C33: Remove a 3ª linha e 3ª coluna:
M33 = 1 & 0 1 & 1 = (1)(1) - (0)(1) = 1
C33 = (-1)^3+3 cdot 1 = 1 cdot 1 = 1

Passo 6

Com os cofatores calculados, formamos a matriz de cofatores:
Cof(A) = - x^2 & x^2 & 0 2x & x^2 - 2x & -2 - x & -x^2 + x & 1
Agora, para obter a matriz adjunta ( adj(A)), precisamos transpor a matriz de cofatores:
adj(A) = - x^2 & 2x & -x x^2 & x^2 - 2x & -x^2 + x 0 & -2 & 1

Passo 7

Finalmente, para encontrar a inversa da matriz A, usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Já calculamos que det(A) = -x^2, então substituindo:
A^-1 = 1-x^2 cdot - x^2 & 2x & -x x^2 & x^2 - 2x & -x^2 + x 0 & -2 & 1
Podemos simplificar dividindo cada elemento da adjunta por -x^2:
A^-1 = -x^2-x^2 & 2x-x^2 & -x-x^2 x^2-x^2 & x^2 - 2x-x^2 & -x^2 + x-x^2 0-x^2 & -2-x^2 & 1-x^2
Simplificando cada termo:
A^-1 = 1 & -2x & 1x -1 & -x^2 - 2xx^2 & x^2 - xx^2 0 & 2x^2 & -1x^2

Resposta

A matriz inversa de A é:
A^-1 = 1 & -dfrac2x & dfrac1x -1 & -dfracx^2 - 2xx^2 & dfracx^2 - xx^2 0 & dfrac2x^2 & -dfrac1x^2

Exercícios relacionados