Verifique se S é um subespaço do espaço vetorial V sobre o corpo K nos seguintes casos.
V=C(R, R), S=f in V mid integral0^1 f(x)^2 d x=0 e K=R.

Passo 1

O enunciado está em V=C(R,R) (o espaço de todas as funções contínuas de R em R) e define
S = lfin V mid integral0^1f(x)^2,dx = 0r
Queremos verificar se S é subespaço de V sobre K=R. Para isso vamos usar:
  1. Critério de integral de função não negativa (se a integral de uma função contínua não negativa é zero, então ela é identicamente zero no intervalo).
  2. Teste de subespaço (contém a função zero, fechado sob soma e multiplicação por escalar).

Passo 2

Mostramos primeiro que
integral0^1f(x)^2,dx = 0Longrightarrow f(x)=0 para todo xin[0,1]
De fato, como f é contínua, f(x)^2>=0 para todo x. Se uma função contínua não negativa tem integral zero num intervalo, ela deve valer zero em todo o intervalo. Logo
S = fin V mid f(x)=0;forall xin[0,1]

Passo 3

Verificamos agora o critério de subespaço.
  1. Elemento zero: a função 0, dada por 0(x)=0 para todo x, satisfaz integral0^10^2,dx=0. Logo 0in S.
  2. Fechamento sob soma: se f,gin S, então f(x)=g(x)=0 em [0,1]. Assim
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=0+0=0forall xin[0,1],
logo integral0^1(f+g)^2=0, ou seja, f+gin S.
  1. Fechamento sob escalar: se fin S e alphainR, então f(x)=0 em [0,1] implica
(alpha f)(x)=alphacdot0=0forall xin[0,1],
portanto integral0^1(alpha f)^2=0 e alpha fin S.

Resposta

S é subespaço de V.

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