Verifique se
é um subespaço do espaço vetorial
sobre o corpo
nos seguintes casos.
e
.
Passo 1
O enunciado está em
(o espaço de todas as funções contínuas de
em
) e define
Queremos verificar se
é subespaço de
sobre
. Para isso vamos usar:
- Critério de integral de função não negativa (se a integral de uma função contínua não negativa é zero, então ela é identicamente zero no intervalo).
- Teste de subespaço (contém a função zero, fechado sob soma e multiplicação por escalar).
Passo 2
Mostramos primeiro que
De fato, como
é contínua,
para todo
. Se uma função contínua não negativa tem integral zero num intervalo, ela deve valer zero em todo o intervalo. Logo
Passo 3
Verificamos agora o critério de subespaço.
-
Elemento zero: a função
, dada por para todo , satisfaz . Logo . -
Fechamento sob soma: se
, então em . Assim
logo
, ou seja,
.
- Fechamento sob escalar: se
e , então em implica
portanto
e
.