Verifique se S é um subespaço do espaço vetorial V sobre o corpo K nos seguintes casos.
V=M2(C), S=(lla11 & a12 a21 & a22) in V rvert, ai j=aj i e K=C.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=M2(C) sobre o corpo K=C e o subconjunto
S = A=(aij)in V mid aij = aji,
isto é, S é o conjunto das matrizes hermitianas de ordem 2. Para verificar se S é subespaço de V, precisamos checar três propriedades: não-vazio (contém o vetor nulo), fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar em C.

Passo 2

Primeiro, S não é vazio porque a matriz zero
O = 0 & 0 0 & 0
satisfaz 0=0.
Agora, tome A,Bin S. Então A^* = A e B^* = B, onde (cdot)^* é a adjunta (conjugada transposta). Logo,
(A+B)^* = A^* + B^* = A + B,
o que mostra que A+Bin S. Assim, S é fechado sob soma.

Passo 3

Resta verificar a multiplicação por escalar. Seja alphainC e Ain S. Então
(alpha A)^* = alpha,A^* = alpha,A
Para ter alpha Ain S precisamos de (alpha A)^* = alpha A, isto é
alpha,A = alpha A Longrightarrow alpha=alpha
Isso só vale para alphainR, mas o corpo dos escalares é C. Logo, não há fechamento para escalares complexos arbitrários.

Passo 4

Concluímos que embora S seja não-vazio e fechado sob soma, ele não é fechado sob multiplicação por qualquer alphainC. Portanto S não é subespaço de V sobre C.

Resposta

S não é subespaço de V sobre o corpo C.

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