Calcule det(A), sabendo que
A=(ccccc -1 & 0 & 2 & 0 & 0 1 & 3 & 3 & -1 & -1 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 0 )

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = -1 & 0 & 2 & 0 & 0 1 & 3 & 3 & -1 & -1 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 0
e pede det(A). Para isso vamos usar expansão de Laplace ao longo da primeira coluna, aproveitando que só há dois elementos não nulos nessa coluna.

Passo 2

Expandindo det(A) pela coluna 1, em que a11=-1 e a21=1, temos
det(A) = (-1),(-1)^1+1det(M11) ;+; (1),(-1)^2+1det(M21) = -det(M11);-;det(M21),
onde M11 é a submatriz 4times 4 obtida removendo linha 1 e coluna 1, e M21 vem de remover linha 2 e coluna 1.

Passo 3

A submatriz
M11= 3 & 3 & -1 & -1 1 & 0 & 0 & 1 2 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 & 0
tem só um elemento não nulo na última linha (o 3 na coluna 3), então
det(M11) = 3,(-1)^4+3,det(N) = -3,det(N),
onde N é o 3times 3 que sobra ao remover a 4ª linha e a 3ª coluna de M11:
N= 3 & 3 & -1 1 & 0 & 1 2 & 0 & 0
Calculando
det(N) =3,(0cdot0-1cdot0);-;3,(1cdot0-1cdot2);+;(-1),(1cdot0-0cdot2) =6,
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det(M11)=-3cdot6=-18

Passo 4

A outra submatriz é
M21= 0 & 2 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 1 2 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 & 0
Na primeira linha só o elemento 2 (coluna 2) é não nulo, então
det(M21) =2,(-1)^1+2,det(P) =-2,det(P),
onde P é obtida removendo a 1ª linha e a 2ª coluna de M21:
P= 1 & 0 & 1 2 & 2 & 0 0 & 3 & 0
Calculando
det(P) =1,(2cdot0-0cdot3);-;0,(2cdot0-0cdot0);+;1,(2cdot3-2cdot0) =6,
portanto
det(M21)=-2cdot6=-12

Passo 5

Voltando à expansão inicial,
det(A) = -det(M11) - det(M21) = -(-18);-;(-12) =18+12=30

Resposta

det(A)=30

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