Dadas as matrizes
A=(cccc 2 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 0 & 3 ), B=(cccc 0 & 0 & 1 & -1 1 & -2 & 0 & 1 0 & 3 & 0 & 2 1 & -1 & 1 & 0 ) e C=(cccc 1 & 1 & -1 & 1 2 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 3 )
Verifique se as matrizes admite inversa e, em caso positivo, use operações elementares para encontrar a inversa de cada uma delas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes
A= 2 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 0 & 3 , B= 0 & 0 & 1 & -1 1 & -2 & 0 & 1 0 & 3 & 0 & 2 1 & -1 & 1 & 0 , C= 1 & 1 & -1 & 1 2 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 3
admitam inversa e, em caso afirmativo, usar operações elementares (Gauss–Jordan) para encontrá-las. Vamos primeiro checar a invertibilidade calculando o determinante de cada uma.

Passo 2

Calculemos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =2det0 & -1 & 11 & 1 & 10 & 0 & 3 -1det1 & -1 & 10 & 1 & 1-1 & 0 & 3
Um breve cálculo mostra que o primeiro menor vale 3 e o segundo 5, de modo que
det(A)=2cdot3-1cdot5=6-5=1neq0
Logo A é invertível.

Passo 3

Para B, expandindo na primeira linha:
det(B) =1cdot C13-(-1)cdot C14,
onde C13=-5 e C14=3. Deduz-se
det(B)=-5+3=-2neq0,
portanto B também é invertível.

Passo 4

Para C, expandindo na última linha, obtemos
det(C) =-2detl(C43r)+3detl(C44r) =4+3=7neq0
Assim, C é invertível.

Passo 5

Como todos os determinantes são não-nulos, as três matrizes admitem inversa. Aplicando o método de Gauss–Jordan em cada par l[Amid I4r], l[Bmid I4r], l[Cmid I4r], obtém-se, após escalonar até à forma l[I4mid A^-1r] (e análogo para B e C), as inversas:
A^-1 = 3 & -3 & -3 & 2 -5 & 6 & 6 & -4 4 & -5 & -4 & 3 1 & -1 & -1 & 1 , B^-1 = 1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & 0 & 1 -1 & 2 & 1 & -1 -1 & 1 & 0 & 0 , C^-1 = 1 & -1 & 1 & -1 -2 & 3 & -1 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & -tfrac23& tfrac13

Resposta

A^-1 = 3 & -3 & -3 & 2 -5 & 6 & 6 & -4 4 & -5 & -4 & 3 1 & -1 & -1 & 1 , B^-1 = 1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & 0 & 1 -1 & 2 & 1 & -1 -1 & 1 & 0 & 0 , C^-1 = 1 & -1 & 1 & -1 -2 & 3 & -1 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & -tfrac23& tfrac13

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