Determine, se possível, a, b, c in R, sabendo que det(B)=1, det(2 A-B)=2, A=(ccc1 & 12 & a^2 1 & 1 & b 1 & 0 & 1) e B=(ccc2 & 0 & c^2 2 & 1 & b 1 & 0 & 1).

Passo 1

O enunciado pede para achar a,b,cinR de modo que
det(B)=1 e det(2A-B)=2, onde
A= 1 & tfrac12 & a^2 1 & 1 & b 1 & 0 & 1 , B= 2 & 0 & c^2 2 & 1 & b 1 & 0 & 1
O conteúdo principal é cálculo de determinantes de matrizes 3times3 e solução de sistemas simples para as incógnitas.

Passo 2

Calcular det(B). Usando a regra de Sarrus ou Laplace pela primeira linha:
det(B) =2l(1cdot1 - bcdot0r) -0l(2cdot1 - bcdot1r) + c^2l(2cdot0 - 1cdot1r) =2 - c^2
Como det(B)=1, segue
2 - c^2 = 1 Longrightarrow c^2=1 Longrightarrow c=pm1

Passo 3

Formar a matriz M=2A - B. Primeiro
2A = 2 & 1 & 2a^2 2 & 2 & 2b 2 & 0 & 2 , 2A - B = 2-2 & 1-0 & 2a^2-c^2 2-2 & 2-1 & 2b - b 2-1 & 0-0 & 2-1 = 0 & 1 & 2a^2-c^2 0 & 1 & b 1 & 0 & 1

Passo 4

Calcular det(M). Pela primeira linha:
det(M) =0cdot(cdots) -1cdotdet!0 & b1 & 1 +(2a^2-c^2)cdotdet!0 & 11 & 0
Aqui
det!0 & b1 & 1 =0cdot1 - bcdot1 = -b, det!0 & 11 & 0 =0cdot0 - 1cdot1 = -1
Logo
det(M) = -1cdot(-b) + (2a^2-c^2)cdot(-1) = b -2a^2 + c^2
Impondo det(M)=2 e usando c^2=1,
b -2a^2 + 1 = 2 Longrightarrow b = 1 + 2a^2

Resposta

Para todo ainR temos
b = 1 + 2a^2, c = pm 1

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