Verifique se cada matriz abaixo é inversível e, caso for, use matriz adjunta para encontrar a inversa.
A=[ccc 2 & 5 & 5 -1 & -1 & 0 2 & 4 & 3 ], B=[ccc 2 & 0 & 3 0 & 3 & 2 -2 & 0 & -4 ] e C=(cccc 1 & 3 & 1 & 1 2 & 5 & 2 & 2 1 & 3 & 8 & 9 1 & 3 & 2 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se as matrizes A , B e C são inversíveis e, se forem, encontrar suas inversas usando a matriz adjunta. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes invertíveis e o cálculo da matriz inversa utilizando a matriz adjunta. Para resolver, vamos precisar calcular determinantes e cofatores de cada matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz A é inversível. Para isso, precisamos calcular o determinante de A . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.

Passo 3

Calculando o determinante de A :
A = 2 & 5 & 5 -1 & -1 & 0 2 & 4 & 3
Usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos expandir pela primeira linha:
det(A) = 2 cdot det-1 & 0 4 & 3 - 5 cdot det-1 & 0 2 & 3 + 5 cdot det-1 & -1 2 & 4
Calculando cada determinante menor:
det-1 & 0 4 & 3 = (-1)(3) - (0)(4) = -3
det-1 & 0 2 & 3 = (-1)(3) - (0)(2) = -3
det-1 & -1 2 & 4 = (-1)(4) - (-1)(2) = -4 + 2 = -2
Agora substituímos:
det(A) = 2(-3) - 5(-3) + 5(-2) = -6 + 15 - 10 = -1
Como o determinante de A é -1 (diferente de zero), A é inversível.

Passo 4

Agora que sabemos que A é inversível, vamos encontrar a sua inversa usando a matriz adjunta. A fórmula para a inversa é:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Primeiro, precisamos calcular a matriz dos cofatores de A , que é a matriz adjunta transposta.

Passo 5

Calculando os cofatores de :
Cada elemento é dado por vezes o determinante do menor correspondente.
Para :
A matriz de cofatores fica:

Passo 6

A matriz adjunta adj(A) é a transposta da matriz de cofatores:
adj(A) = C^T = -3 & 5 & 5 3 & -4 & -5 -2 & 2 & 3

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 1-1 cdot -3 & 5 & 5 3 & -4 & -5 -2 & 2 & 3 = 3 & -5 & -5 -3 & 4 & 5 2 & -2 & -3

Passo 8

Agora, vamos verificar se a matriz B é inversível, seguindo o mesmo processo: calcular o determinante e, se for diferente de zero, encontrar a inversa usando a matriz adjunta.

Passo 9

Calculando o determinante de :
Expandindo pela primeira linha:
Calculando os determinantes menores:
Agora substituímos:
Como o determinante de é (diferente de zero), é inversível.

Passo 10

Agora, vamos encontrar a inversa de B usando a matriz adjunta. Usamos a fórmula:
B^-1 = 1det(B) cdot adj(B)
Primeiro, calculamos os cofatores de B .

Passo 11

Calculando os cofatores de :
A matriz de cofatores fica:

Passo 12

A matriz adjunta adj(B) é a transposta da matriz de cofatores:
adj(B) = C^T = -12 & 0 & -9 -4 & -2 & -4 6 & 0 & 6

Passo 13

Aplicando a fórmula da inversa:
B^-1 = 1-6 cdot -12 & 0 & -9 -4 & -2 & -4 6 & 0 & 6 = 2 & 0 & 1.5 23 & 13 & 23 -1 & 0 & -1

Passo 14

Por fim, vamos analisar a matriz C para verificar se é inversível. Calcularemos o determinante de C . Se for diferente de zero, será inversível.

Passo 15

Calculando o determinante de C :
C = 1 & 3 & 1 & 1 2 & 5 & 2 & 2 1 & 3 & 8 & 9 1 & 3 & 2 & 2
Como C é uma matriz 4 times 4 , o cálculo do determinante é mais complicado. Observe que a segunda linha é 2 vezes a primeira linha:
Linha 2 = 2 times Linha 1
Isso significa que as linhas são lineares dependentes, então o determinante é zero.

Resposta

Somente as matrizes A e B são inversíveis. Suas inversas são:
A^-1 = 3 & -5 & -5 -3 & 4 & 5 2 & -2 & -3
e
B^-1 = 2 & 0 & 1.5 23 & 13 & 23 -1 & 0 & -1
A matriz C não é inversível.

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