Calcule det(A), sendo A=[cccc1 & 1 & -1 & -2 -3 & 0 & 2 & -3 3 & 0 & -1 & 2 2 & -1 & -2 & -1]
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz A. A matéria envolvida aqui é o cálculo de determinantes, especificamente para matrizes quadradas 4x4. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos como expansão por cofatores ou simplificar a matriz para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a matriz A usando operações elementares de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar ou adicionar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações não mudam o valor do determinante ou têm um efeito conhecido sobre ele.

Passo 3

Vamos observar a matriz A:
A = 1 & 1 & -1 & -2 -3 & 0 & 2 & -3 3 & 0 & -1 & 2 2 & -1 & -2 & -1
Primeiro, vamos simplificar a segunda linha adicionando 3 vezes a primeira linha a ela para eliminar o -3 na posição (2,1):
Linha 2 = Linha 2 + 3 × Linha 1:
-3 + 3×1 = 0 0 + 3×1 = 3 2 + 3×(-1) = -1 -3 + 3×(-2) = -9
Então, a nova matriz fica:
1 & 1 & -1 & -2 0 & 3 & -1 & -9 3 & 0 & -1 & 2 2 & -1 & -2 & -1

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 3 na posição (3,1) subtraindo 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 3 × Linha 1:
3 - 3×1 = 0 0 - 3×1 = -3 -1 - 3×(-1) = 2 2 - 3×(-2) = 8
A matriz atualizada:
1 & 1 & -1 & -2 0 & 3 & -1 & -9 0 & -3 & 2 & 8 2 & -1 & -2 & -1

Passo 5

Vamos agora eliminar o 2 na posição (4,1) subtraindo 2 vezes a primeira linha da quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - 2 × Linha 1:
2 - 2×1 = 0 -1 - 2×1 = -3 -2 - 2×(-1) = 0 -1 - 2×(-2) = 3
A matriz fica:
1 & 1 & -1 & -2 0 & 3 & -1 & -9 0 & -3 & 2 & 8 0 & -3 & 0 & 3

Passo 6

Agora, vamos focar na coluna 2. Podemos simplificar a terceira e quarta linhas. Primeiro, vamos adicionar a segunda linha à terceira linha para eliminar o -3 na posição (3,2):
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2:
0 + 0 = 0 -3 + 3 = 0 2 + (-1) = 1 8 + (-9) = -1
A matriz fica:
1 & 1 & -1 & -2 0 & 3 & -1 & -9 0 & 0 & 1 & -1 0 & -3 & 0 & 3

Passo 7

Vamos agora adicionar a segunda linha à quarta linha para eliminar o -3 na posição (4,2):
Linha 4 = Linha 4 + Linha 2:
0 + 0 = 0 -3 + 3 = 0 0 + (-1) = -1 3 + (-9) = -6
A matriz atualizada:
1 & 1 & -1 & -2 0 & 3 & -1 & -9 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & -1 & -6

Passo 8

Agora, a matriz está quase em forma triangular superior. Vamos eliminar o -1 na posição (4,3) adicionando a terceira linha à quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + Linha 3:
0 + 0 = 0 0 + 0 = 0 -1 + 1 = 0 -6 + (-1) = -7
A matriz final fica:
1 & 1 & -1 & -2 0 & 3 & -1 & -9 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & -7

Passo 9

Agora que a matriz está em forma triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = 1 × 3 × 1 × (-7) = -21

Resposta

det(A) = -21

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