Determine se as seguintes sequências são convergentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
an=n!n^2

Passo 1

Temos a sequência an = n!n^2. O conteúdo aqui é análise de convergência de sequência numérica, e vamos usar o teste da razão para sequências. Para isso, vamos precisar conhecer propriedades de fatoriais, limites e o enunciado do teste da razão.

Passo 2

O teste da razão diz que, se existir L = limn to infty |an+1an|, então: se L<1 a sequência converge para zero; se L>1 a sequência diverge (os termos crescem sem limite); se L=1 o teste não decide.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos. Temos

Passo 4

an+1an = (n+1)!(n+1)^2n!n^2 = (n+1)!(n+1)^2 cdot n^2n! = n^2,(n+1)(n+1)^2 = n^2n+1

Passo 5

Agora basta ver o limite dessa expressão:

Passo 6

limntoinftyn^2n+1 = limntoinftyn^2n,(1+1/n) = limntoinftyn1+1/n = +infty

Passo 7

Como o limite da razão é maior que 1 (na verdade vai para infinito), o teste da razão garante que an diverge, mais precisamente cresce sem limite.

Resposta

A sequência diverge, isto é, limntoinfty an = +infty.

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