Determine, através da definição de derivada, f^prime(x), se:
f(x)=ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=ln x usando a definição de derivada pelo limite. O conteúdo envolvido é derivação a partir da definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Vamos usar propriedades de logaritmo e um limite fundamental de ln.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada para f(x)=ln x:
f'(x)=limhto0ln(x+h)-ln xh

Passo 3

Aplicamos a propriedade de diferença de logaritmos ln a - ln b = lnl(tfracabr):
f'(x)=limhto0lnl(tfracx+hxr)h =limhto0lnl(1+tfrachxr)h

Passo 4

Fatoramos 1/x no denominador do argumento do logaritmo:
f'(x) =limhto0lnl(1+tfrachxr)h =limhto0lnl(1+tfrachxr)tfrachxcdot1x
Como hto0 implica tfrachxto0, usamos o limite conhecido
limuto0ln(1+u)u=1

Passo 5

Substituindo esse resultado, obtemos
f'(x) =1cdot1x =1x
Logo, a derivada de ln x em seu domínio x>0 é tfrac1x.

Resposta

f'(x)=1x

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