Se (x, y, z) é solução do sistema linear homogéneo l0 x+10 y+5 z=0 4 x-10 y-15 z=0 2 x-10 y-10 z=0, e z neq 0, quanto vale z+yz ?
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares homogêneas juntos! A gente tem três equações com três incógnitas: x, y e z. O objetivo é descobrir o valor de z + yz sabendo que z neq 0. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e como resolvê-los usando métodos como substituição ou eliminação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
0x + 10y + 5z = 0 4x - 10y - 15z = 0 2x - 10y - 10z = 0
Como o primeiro termo da primeira equação é zero, podemos simplificar as equações para facilitar a resolução.

Passo 3

Simplificando a primeira equação:
10y + 5z = 0
Podemos dividir todos os termos por 5 para simplificar ainda mais:
2y + z = 0 Rightarrow z = -2y
Agora já temos uma relação entre z e y.

Passo 4

Vamos usar essa relação ( z = -2y) nas outras duas equações para encontrar a relação com x.
Substituindo z na segunda equação:
4x - 10y - 15(-2y) = 0 4x - 10y + 30y = 0 4x + 20y = 0 x = -5y
Agora sabemos que x = -5y e z = -2y.

Passo 5

Agora, queremos encontrar o valor de z + yz. Vamos substituir z = -2y nessa expressão:
z + yz = -2y + y-2y = -y-2y = 12

Resposta

z + yz = 12

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