Calcule det A sendo A=\left(a_{i j}\right) uma matriz quadrada de ordem 3 , com a_{i j}=j-i^{2}.

Passo 1

Temos uma matriz quadrada 3\times3 cujos elementos satisfazem
a_{ij}=j - i^2,\quad i,j=1,2,3.
O objetivo é calcular \det(A). Para matrizes 3\times3 usamos a regra de Sarrus, que expressa o determinante em termos dos produtos das diagonais.

Passo 2

Vamos montar explicitamente A linha a linha, substituindo i=1,2,3:
Para i=1 i^2=1, a_{1j}=j-1 dá a linha (0,1,2).
Para i=2 i^2=4, a_{2j}=j-4 dá a linha (-3,-2,-1).
Para i=3 i^2=9, a_{3j}=j-9 dá a linha (-8,-7,-6).
Portanto,
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ -3 & -2 & -1\\\\ -8 & -7 & -6 \end{pmatrix}.

Passo 3

A regra de Sarrus para \displaystyle A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}
é
\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).

Passo 4

Substituindo os a_{ij} de A:
Produtos das diagonais “positivas”:
0\cdot(-2)\cdot(-6) +1\cdot(-1)\cdot(-8) +2\cdot(-3)\cdot(-7) =0 + 8 + 42 = 50.
Produtos das diagonais “negativas”:
2\cdot(-2)\cdot(-8) +0\cdot(-1)\cdot(-7) +1\cdot(-3)\cdot(-6) =32 + 0 + 18 = 50.
Logo,
\det(A)=50 - 50 = 0.

Resposta

\det(A)=0

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