Encontre a equação da parábola com vértice na origem e foco no ponto F(3,0). Qual a equação de sua reta diretriz?
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma parábola com vértice na origem e foco em F(3,0), além de determinar a reta diretriz. Vamos usar a definição geométrica de parábola: é o lugar dos pontos equidistantes do foco e da reta diretriz.
Passo 2
Seja um ponto genérico (x,y) da parábola.
A distância de (x,y) ao foco F(3,0) é \sqrt{(x-3)^2 + y^2}.
Seja a reta diretriz dada por x = d. A distância de (x,y) a essa reta é
\bigl|x - d\bigr|.
A condição da parábola impõe
\sqrt{(x-3)^2 + y^2} \;=\;\bigl|x - d\bigr|.
Passo 3
Como o vértice (0,0) está a igual distância do foco e da diretriz, temos
\sqrt{(0-3)^2 + 0^2} = 3,
\bigl|0 - d\bigr| = |d|.
Logo |d|=3. Como o foco fica à direita do vértice, a diretriz fica à esquerda, portanto
d = -3 \quad\Longrightarrow\quad \text{diretriz: }x = -3.
Passo 4
Substituindo d=-3 na equação de distâncias e elevando ao quadrado, obtemos