Encontre a equação da parábola com vértice na origem e foco no ponto F(3,0). Qual a equação de sua reta diretriz?

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma parábola com vértice na origem e foco em F(3,0), além de determinar a reta diretriz. Vamos usar a definição geométrica de parábola: é o lugar dos pontos equidistantes do foco e da reta diretriz.

Passo 2

Seja um ponto genérico (x,y) da parábola.
A distância de (x,y) ao foco F(3,0) é \sqrt{(x-3)^2 + y^2}.
Seja a reta diretriz dada por x = d. A distância de (x,y) a essa reta é
\bigl|x - d\bigr|.
A condição da parábola impõe
\sqrt{(x-3)^2 + y^2} \;=\;\bigl|x - d\bigr|.

Passo 3

Como o vértice (0,0) está a igual distância do foco e da diretriz, temos
\sqrt{(0-3)^2 + 0^2} = 3,
\bigl|0 - d\bigr| = |d|.
Logo |d|=3. Como o foco fica à direita do vértice, a diretriz fica à esquerda, portanto
d = -3 \quad\Longrightarrow\quad \text{diretriz: }x = -3.

Passo 4

Substituindo d=-3 na equação de distâncias e elevando ao quadrado, obtemos
(x-3)^2 + y^2 = (x+3)^2.
Expandindo e simplificando:
x^2 -6x +9 + y^2 = x^2 +6x +9 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 12x.

Resposta

y^2 = 12x
Reta diretriz:
x = -3.

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