Uma elipse centrada na origem tem sua equação dada por \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1. Determine:
a) As coordenadas dos vértices do eixo maior ( A_{1} e A_{2} ).
b) As coordenadas dos vértices do eixo menor ( B_{1} e B_{2} ).
c) As coordenadas dos focos \left(F_{1}\right. e \left.F_{2}\right).
d) A excentricidade ( \varepsilon ).

Passo 1

O enunciado dá a elipse centrada na origem com equação
\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1
Aqui reconhecemos a forma padrão de uma elipse com semi-eixo maior a e semi-eixo menor b, onde
a^{2} = 25 \quad\text{e}\quad b^{2} = 16.
Vamos usar isso para obter os vértices, os focos e a excentricidade.

Passo 2

Extraímos os comprimentos dos semi-eixos:
a = \sqrt{25} = 5, \quad b = \sqrt{16} = 4.
Como a>b, o eixo maior é horizontal (ao longo de x) e o eixo menor é vertical (ao longo de y).

Passo 3

Os vértices do eixo maior são os pontos em que a elipse corta o eixo x, isto é, (\pm a, 0). Logo,
A_{1} = (-5,0), \quad A_{2} = (5,0).

Passo 4

Os vértices do eixo menor são os pontos em que a elipse corta o eixo y, isto é, (0,\pm b). Logo,
B_{1} = (0,-4), \quad B_{2} = (0,4).

Passo 5

Os focos estão sobre o eixo maior, a uma distância c da origem, com
c^{2} = a^{2} - b^{2} = 25 - 16 = 9 \quad\Longrightarrow\quad c = 3.
Portanto,
F_{1} = (-3,0), \quad F_{2} = (3,0).

Passo 6

A excentricidade \varepsilon é dada por
\varepsilon = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0,6.

Resposta

a) A_{1}=(-5,0), A_{2}=(5,0).
b) B_{1}=(0,-4), B_{2}=(0,4).
c) F_{1}=(-3,0), F_{2}=(3,0).
d) \varepsilon=0,6.

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