Encontre, caso existam, dois números cuja diferença é igual a 3 e cujo produto é igual a 20.

Passo 1

O enunciado pede para achar dois números cujos valores sejam x e y de forma que a diferença entre eles seja 3 e o produto seja 20. O conteúdo aqui é resolução de sistema formado por uma equação do 1º grau e outra do 2º grau, e vamos usar o método de substituição.

Passo 2

Da condição da diferença, temos
x - y = 3,
logo podemos isolar x:
x = y + 3.

Passo 3

Substituindo x = y+3 na condição do produto, que é
x \cdot y = 20,
ficamos com
(y+3)\,y = 20.
Desenvolvendo, obtemos a equação quadrática
y^2 + 3y - 20 = 0.

Passo 4

Para resolver y^2 + 3y - 20 = 0, calculamos o discriminante
\Delta = 3^2 - 4\cdot1\cdot(-20) = 9 + 80 = 89.
Como \Delta>0, existem duas raízes reais dadas por
y = \frac{-3 \pm \sqrt{89}}{2}.

Passo 5

Voltando a encontrar x via x = y+3, temos
x = \frac{-3 \pm \sqrt{89}}{2} + 3 = \frac{-3 \pm \sqrt{89} + 6}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2}.

Passo 6

Portanto, existem duas soluções para o par (x,y):
\biggl(\frac{3 + \sqrt{89}}{2},\,\frac{-3 + \sqrt{89}}{2}\biggr) \quad\text{e}\quad \biggl(\frac{3 - \sqrt{89}}{2},\,\frac{-3 - \sqrt{89}}{2}\biggr).

Resposta

\Bigl(x,y\Bigr) = \Bigl(\tfrac{3 + \sqrt{89}}{2},\,\tfrac{-3 + \sqrt{89}}{2}\Bigr) \quad\text{ou}\quad \Bigl(\tfrac{3 - \sqrt{89}}{2},\,\tfrac{-3 - \sqrt{89}}{2}\Bigr).

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