Calcule o determinante abaixo
|rrrr -3 & 1 & 2 & 8 2 & 0 & 3 & 4 1 & 2 & 7 & -4 5 & -1 & 2 & 0 |

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4times4. O conteúdo principal é cálculo de determinante usando operações de linha para reduzir a matriz e, ao final, fazer a expansão de Laplace num menor de ordem 3. Vamos usar troca de linhas (que muda o sinal do determinante), eliminação para zerar entradas e depois cofactor para o subdeterminante 3times3.

Passo 2

Para facilitar a eliminação, trocamos R1 com R3, obtendo um pivô igual a 1 na posição (1,1). Essa troca inverte o sinal do determinante. A matriz vira
1 & 2 & 7 & -4 2 & 0 & 3 & 4 -3 & 1 & 2 & 8 5 & -1 & 2 & 0 ,
e valendo -1 vezes o determinante original.

Passo 3

Zeramos as entradas abaixo do pivô na coluna 1 usando eliminações de linha:
R2& R2-2R1 &(2,0,3,4)-2,(1,2,7,-4)&=(0,-4,-11,12), R3& R3+3R1 &(-3,1,2,8)+3,(1,2,7,-4)&=(0,7,23,-4), R4& R4-5R1 &(5,-1,2,0)-5,(1,2,7,-4)&=(0,-11,-33,20)
Agora a matriz está em forma
1 & 2 & 7 & -4 0 & -4 & -11 & 12 0 & 7 & 23 & -4 0 & -11 & -33 & 20

Passo 4

Como o determinante de uma matriz triangular por blocos se separa, temos
det = (-1),cdot 1 ,cdot det -4 & -11 & 12 7 & 23 & -4 -11 & -33 & 20
Chamemos esse menor de D; então det = -D.

Passo 5

Calculamos
D = -4 & -11 & 12 7 & 23 & -4 -11 & -33 & 20 = -4,(23cdot20 -(-4)cdot(-33)) -(-11),(7cdot20 -(-4)cdot(-11)) +12,(7cdot(-33)-23cdot(-11))
Dentro dos parênteses:
23cdot20 -(-4)cdot(-33)=460-132=328, 7cdot20 -(-4)cdot(-11)=140-44=96, 7cdot(-33)-23cdot(-11)=-231+253=22
Portanto
D = -4cdot328 +11cdot96 +12cdot22 = -1312 +1056 +264 = 8
Logo o determinante original é
det = -D = -8

Resposta

-8

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