Discuta em função de k o seguinte sistema linear
-x-2 y-k z & =1 k x-y+z & =2 x+y+z & =0

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de três equações em três incógnitas
O objetivo é discutir em função de (k] quando esse sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Para isso vamos usar o determinante da matriz de coeficientes e, nos casos singulares, verificar consistência.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
A = -1 & -2 & -k k & -1 & 1 1 & 1 & 1
Expandindo pela primeira linha,
det A = -1cdotdet-1 & 11 & 1 -(-2)cdotdetk & 11 & 1 +(-k)cdotdetk & -11 & 1,
det A = -1l((-1)cdot1 - 1cdot1r) +2l(kcdot1 - 1cdot1r) -kl(kcdot1 -(-1)cdot1r) = k(1-k)

Passo 3

Se kneq0 e kneq1, então det Aneq0 e o sistema tem solução única. Para encontrá-la, usamos a terceira equação para eliminar x:
x = -,y - z,
substituímos nas duas primeiras e resolvemos para y,z. O cálculo conduz a
y = -1k, z = -1k,
e portanto
x = -l(-1kr) -l(-1kr) = 2k
Logo, para kneq0,1 a solução é
(x,y,z) = l(tfrac2k,,-tfrac1k,,-tfrac1kr)

Passo 4

Se
da segunda temos , contradição. Portanto, para não há solução.

Passo 5

Se
Da subtração da segunda equação da terceira achamos , e a primeira não impõe nova condição (vira ). Logo temos infinitas soluções, por exemplo parametricamente

Resposta

Para kneq0,1 há solução única
(x,y,z)=l(tfrac2k,-tfrac1k,-tfrac1kr)
Para k=0 não há solução.
Para k=1 há infinitas soluções, dado que
(x,y,z)=(1-t,,-1,,t), tinR

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