Determine se A abaixo é inversível e em caso positivo calcule sua inversa
A=(rrrr -1 & 0 & 2 & 1 2 & -1 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 & 1 1 & -2 & 1 & 4 )

Passo 1

Então, pessoal, temos um exercício de álgebra linear aqui. A gente precisa descobrir se a matriz A é inversível. Se for, também vamos calcular a inversa dela. Para fazer isso, vamos usar conceitos como determinante e operações com matrizes. Vamos lá!
A=(rrrr -1 & 0 & 2 & 1 2 & -1 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 & 1 1 & -2 & 1 & 4 )

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz A é inversível. Uma matriz quadrada é inversível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de A .

Passo 3

Calcular determinantes de matrizes 4x4 pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vamos usar a expansão pela primeira linha para facilitar.
O determinante de A é:
det(A) = -1 cdot det(rrr -1 & -1 & 0 1 & 0 & 1 -2 & 1 & 4 ) - 0 + 2 cdot det(rrr 2 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 4 ) + 1 cdot det(rrr 2 & -1 & -1 -1 & 0 & 1 1 & -2 & 1 )

Passo 4

Agora vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. Primeiro menor:
det(rrr -1 & -1 & 0 1 & 0 & 1 -2 & 1 & 4 ) = -1 cdot (0 cdot 4 - 1 cdot 1) - (-1) cdot (1 cdot 4 - 1 cdot (-2)) + 0 = -1 cdot (-1) + 1 cdot (4 + 2) = 1 + 6 = 7
  1. Segundo menor (como o coeficiente é 0, não precisamos calcular):
0 cdot det() = 0
  1. Terceiro menor:
det(rrr 2 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 4 ) = 2 cdot (0 cdot 4 - 1 cdot 1) - (-1) cdot (-1 cdot 4 - 1 cdot 1) + 0 = 2 cdot (-1) - 1 cdot (-4 -1) = -2 + 5 = 3
  1. Quarto menor:
det(rrr 2 & -1 & -1 -1 & 0 & 1 1 & -2 & 1 ) = 2 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot (-2)) - (-1) cdot (-1 cdot 1 - 1 cdot 1) + (-1) cdot (-1 cdot (-2) - 0 cdot 1) = 2 cdot 2 - 1 cdot (-1 -1) -1 cdot (2 - 0) = 4 + 2 - 2 = 4

Passo 5

Agora, substituindo esses valores de volta na fórmula do determinante:
det(A) = -1 cdot 7 + 0 + 2 cdot 3 + 1 cdot 4 = -7 + 0 + 6 + 4 = 3

Passo 6

Como o determinante de A é 3, que é diferente de zero, a matriz A é inversível. Agora, vamos calcular a inversa de A .

Passo 7

Para encontrar a inversa de uma matriz, vamos usar a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a matriz adjunta de A . A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de A .

Passo 8

Vamos calcular a matriz dos cofatores de A . Cada elemento dessa matriz é o cofre de cada posição, que é (-1)^i+j vezes o determinante do menor correspondente.
Por exemplo, o cofre de a11 é:
C11 = (-1)^1+1 cdot det(rrr -1 & -1 & 0 1 & 0 & 1 -2 & 1 & 4 ) = 1 cdot 7 = 7
Vamos calcular todos os cofatores:
C = (rrrr 7 & 5 & 3 & 4 -5 & 5 & 1 & 2 3 & -1 & 5 & -3 -4 & 2 & -2 & 3 )

Passo 9

Agora, a adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores:
adj(A) = C^T = (rrrr 7 & -5 & 3 & -4 5 & 5 & -1 & 2 3 & 1 & 5 & -2 4 & 2 & -3 & 3 )

Passo 10

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 13 cdot (rrrr 7 & -5 & 3 & -4 5 & 5 & -1 & 2 3 & 1 & 5 & -2 4 & 2 & -3 & 3 )

Resposta

A matriz A é inversível e a sua inversa é:
A^-1 = 13 cdot (rrrr 7 & -5 & 3 & -4 5 & 5 & -1 & 2 3 & 1 & 5 & -2 4 & 2 & -3 & 3 )
Ou seja,
A^-1 = (rrrr 73 & -53 & 1 & -43 53 & 53 & -13 & 23 1 & 13 & 53 & -23 43 & 23 & -1 & 1 )

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