Determinar os pontos de interseção da reta
r: \left\{\begin{array}{l}y=2 x-3 \\\ z=-x+2\end{array}\right.
com os planos coordenados.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta r definida pelas duas equações
y = 2x - 3
z = -x + 2
e pede: determinar os pontos de interseção dessa reta com os três planos coordenados. Ou seja, precisamos encontrar os pontos onde a reta cruza cada um destes planos:
  • plano xy: definido por z=0;
  • plano xz: definido por y=0;
  • plano yz: definido por x=0.
As informações relevantes são exatamente as equações da reta acima; não há outra condição adicional. A tarefa é, para cada plano, impor a equação do plano e resolver as equações da reta simultaneamente para obter o ponto de interseção.

Passo 2

Estratégia e formulação paramétrica (explicação didática).
Uma forma prática de trabalhar é introduzir um parâmetro para a coordenada x. Seja t esse parâmetro e defina
x = t.
Substituindo em y e z obtemos a forma paramétrica da reta:
x=t,\qquad y=2t-3,\qquad z=-t+2.
Explicação do que isso significa: ao variar t ao longo dos números reais, as coordenadas (x,y,z) dadas por essas expressões percorrem todos os pontos da reta r. Para achar a interseção com um plano do tipo “uma coordenada igual a zero”, basta impor essa coordenada igual a zero e resolver para t, depois calcular as outras coordenadas.

Passo 3

Interseção com o plano xy (onde z=0).
Impor z=0 na forma paramétrica:
-z = t-2 \quad\text{(como }z=-t+2\text{)}\quad\Rightarrow\quad -t+2=0.
Resolver para t:
-t+2=0 \quad\Rightarrow\quad t=2.
Calcular x e y no t encontrado:
x=t=2,\qquad y=2t-3=2\cdot 2-3=4-3=1.
Logo, o ponto de interseção com o plano xy é (2,1,0).

Passo 4

Interseção com o plano xz (onde y=0).
Impor y=0 na forma paramétrica:
y=2t-3=0.
Resolver para t:
2t-3=0 \quad\Rightarrow\quad 2t=3 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{3}{2}.
Calcular x e z nesse t:
x=t=\frac{3}{2},\qquad z=-t+2=-\frac{3}{2}+2=-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto, o ponto de interseção com o plano xz é \left(\dfrac{3}{2},0,\dfrac{1}{2}\right).

Passo 5

Interseção com o plano yz (onde x=0).
Impor x=0 significa tomar t=0 já que x=t. Então:
t=0.
Calcular y e z em t=0:
y=2\cdot 0-3=-3,\qquad z=-0+2=2.
Assim, o ponto de interseção com o plano yz é (0,-3,2).

Passo 6

Verificação rápida (checagem): cada ponto encontrado deve satisfazer as equações originais da reta e a equação do plano correspondente.
  • Para (2,1,0): y=2\cdot 2-3=1 e z=-2+2=0 — OK.
  • Para \left(\dfrac{3}{2},0,\dfrac{1}{2}\right): y=2\cdot\dfrac{3}{2}-3=3-3=0 e z=-\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{1}{2} — OK.
  • Para (0,-3,2): y=2\cdot 0-3=-3 e z=-0+2=2 — OK.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: foi só impor a equação do plano (uma coordenada igual a zero), resolver para o parâmetro t e calcular as outras coordenadas. Fazendo isso passo a passo dá para resolver de cabeça sem complicação — respira, repete esses passos e fica tranquilo(a), já está pegando o jeitão.

Resposta

(2,1,0)
\left(\dfrac{3}{2},0,\dfrac{1}{2}\right)
(0,-3,2)

Exercícios relacionados