Determinar os pontos de interseção da reta
r:
com os planos coordenados.
r:
com os planos coordenados.
Passo 1
O enunciado nos dá a reta
definida pelas duas equações
e pede: determinar os pontos de interseção dessa reta com os três planos coordenados. Ou seja, precisamos encontrar os pontos onde a reta cruza cada um destes planos:
- plano
: definido por ; - plano
: definido por ; - plano
: definido por .
As informações relevantes são exatamente as equações da reta acima; não há outra condição adicional. A tarefa é, para cada plano, impor a equação do plano e resolver as equações da reta simultaneamente para obter o ponto de interseção.
Passo 2
Estratégia e formulação paramétrica (explicação didática).
Uma forma prática de trabalhar é introduzir um parâmetro para a coordenada . Seja
esse parâmetro e defina
Uma forma prática de trabalhar é introduzir um parâmetro para a coordenada
Substituindo em
e
obtemos a forma paramétrica da reta:
Explicação do que isso significa: ao variar
ao longo dos números reais, as coordenadas
dadas por essas expressões percorrem todos os pontos da reta
. Para achar a interseção com um plano do tipo “uma coordenada igual a zero”, basta impor essa coordenada igual a zero e resolver para
, depois calcular as outras coordenadas.
Passo 3
Interseção com o plano
(onde
).
Impor na forma paramétrica:
Impor
Resolver para
:
Calcular
e
no
encontrado:
Logo, o ponto de interseção com o plano
é
.
Passo 4
Interseção com o plano
(onde
).
Impor na forma paramétrica:
Impor
Resolver para
:
Calcular
e
nesse
:
Portanto, o ponto de interseção com o plano
é
.
Passo 5
Interseção com o plano
(onde
).
Impor significa tomar
já que
. Então:
Impor
Calcular
e
em
:
Assim, o ponto de interseção com o plano
é
.
Passo 6
Verificação rápida (checagem): cada ponto encontrado deve satisfazer as equações originais da reta e a equação do plano correspondente.
- Para
: e — OK. - Para
: e — OK. - Para
: e — OK.
Passo 7
Resumo rápido e incentivo: foi só impor a equação do plano (uma coordenada igual a zero), resolver para o parâmetro
e calcular as outras coordenadas. Fazendo isso passo a passo dá para resolver de cabeça sem complicação — respira, repete esses passos e fica tranquilo(a), já está pegando o jeitão.