Determine o polinômio caracteristico e o polinômio minimal.
A=[cc0 & 1 -2 & 5]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico e o polinômio minimal da matriz
A = 0 & 1 -2 & 5
Vamos usar definição de polinômio característico como
p(lambda)=det(A-lambda I),
e lembrar que o polinômio minimal é o polinômio monico de menor grau que anula A e divide p(lambda).

Passo 2

Para calcular
p(lambda)=detl(A-lambda Ir)
montamos
A-lambda I = -lambda & 1 -2 & 5-lambda
e então
p(lambda) =det-lambda & 1 -2 & 5-lambda =(-lambda)(5-lambda)-1cdot(-2) =lambda^2-5lambda+2

Passo 3

O polinômio característico é
p(lambda)=lambda^2-5lambda+2
Suas raízes são
lambda1,2=5pmraiz25-82 =5pmraiz172,
que são distintas.

Passo 4

Como os autovalores são distintos, A é diagonalizável e o polinômio minimal coincide com o polinômio característico. Logo, o polinômio minimal é o menor polinômio monico que anula A e divide p(lambda), ou seja,
m(lambda)=lambda^2-5lambda+2

Resposta

O polinômio característico é
lambda^2 - 5lambda + 2
e o polinômio minimal também é
lambda^2 - 5lambda + 2

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