Problema 13 Verifique se os vetores u=(1,2,3), v=(0,1,2) e w= (0,0,1) formam uma base. Esta base é ortonormal?

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
u=(1,2,3), v=(0,1,2) e w=(0,0,1).
Queremos verificar (1) se eles formam uma base de R^3, ou seja, se são linearmente independentes e geram R^3;
(2) se essa base é ortonormal, isto é, se os vetores são mutuamente ortogonais e têm norma unitária.

Passo 2

Para testar se u,v,w é linearmente independente, montamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
A = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 2 & 1
O determinante de A é
det(A) =1cdotdet1 & 02 & 1 -0+;0 =1cdot(1cdot1-0cdot2) =1neq0
Como det(A)neq0, os vetores são linearmente independentes e formam uma base de R^3.

Passo 3

Verificamos agora a ortogonalidade calculando os produtos internos:
ucdotv =1cdot0+2cdot1+3cdot2 =0+2+6 =8,
ucdotw =1cdot0+2cdot0+3cdot1 =3,
vcdotw =0cdot0+1cdot0+2cdot1 =2
Como pelo menos um desses produtos internos é diferente de zero (por exemplo, ucdotv=8), os vetores não são mutuamente ortogonais.

Passo 4

Mesmo sem todos produtos internos nulos, podemos checar as normas:
|u|=raiz1^2+2^2+3^2=raiz14, |v|=raiz0^2+1^2+2^2=raiz5, |w|=raiz0^2+0^2+1^2=1
w tem norma unitária; u e v não têm. Logo, mesmo se fossem ortogonais, não seriam normalizados.

Resposta

Os vetores formam, sim, uma base de R^3, pois são linearmente independentes. Porém, essa base não é ortonormal, já que os vetores não são mutuamente ortogonais nem todos têm norma igual a 1.

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