Calcule o determinante de cada matriz abaixo:
[cccc2 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & -2 & -1 2 & -1 & 1 & 0 3 & 0 & 3 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4 que você me passou. A matriz é:
2 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & -2 & -1 2 & -1 & 1 & 0 3 & 0 & 3 & 0
Para resolver isso, vamos usar a expansão por cofatores, que é uma técnica da álgebra linear para calcular determinantes de matrizes maiores que 2x2.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher uma linha ou coluna para expandir. O ideal é escolher aquela com mais zeros para facilitar os cálculos. Observando a matriz, a segunda coluna tem um zero, então vamos expandir por essa coluna.

Passo 3

Vamos lembrar que o determinante pode ser calculado assim:
det(A) = sumi=1^n (-1)^i+j aij cdot det(Mij)
Onde aij é o elemento da matriz na linha i e coluna j , e Mij é a matriz que sobra depois de remover a linha i e a coluna j .

Passo 4

Vamos aplicar isso à segunda coluna ( j = 2 ):
det(A) = (-1)^1+2 cdot a12 cdot det(M12) + (-1)^2+2 cdot a22 cdot det(M22) + (-1)^3+2 cdot a32 cdot det(M32) + (-1)^4+2 cdot a42 cdot det(M42)
Substituindo os valores:
det(A) = (-1)^3 cdot 1 cdot det(M12) + (-1)^4 cdot 0 cdot det(M22) + (-1)^5 cdot (-1) cdot det(M32) + (-1)^6 cdot 0 cdot det(M42)
Perceba que os termos com a22 e a42 são multiplicados por zero, então podemos ignorá-los.

Passo 5

Vamos calcular os determinantes dos menores M12 e M32 .
Primeiro, M12 (removendo a linha 1 e coluna 2):
M12 = 0 & -2 & -1 2 & 1 & 0 3 & 3 & 0
E M32 (removendo a linha 3 e coluna 2):
M32 = 2 & -2 & 0 0 & -2 & -1 3 & 3 & 0

Passo 6

Calculando det(M12) :
det(M12) = 0 cdot 1 & 0 3 & 0 - (-2) cdot 2 & 0 3 & 0 + (-1) cdot 2 & 1 3 & 3
Calculando cada menor 2x2:
= 0 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 3) - (-2) cdot (2 cdot 0 - 0 cdot 3) + (-1) cdot (2 cdot 3 - 1 cdot 3)
= 0 - (-2) cdot 0 + (-1) cdot (6 - 3)
= 0 + 0 - 3
= -3

Passo 7

Calculando det(M32) :
det(M32) = 2 cdot -2 & -1 3 & 0 - (-2) cdot 0 & -1 3 & 0 + 0 cdot 0 & -2 3 & 3
Calculando cada menor 2x2:
= 2 cdot (-2 cdot 0 - (-1) cdot 3) - (-2) cdot (0 cdot 0 - (-1) cdot 3) + 0 cdot ()
= 2 cdot (0 + 3) - (-2) cdot (0 + 3) + 0
= 2 cdot 3 - (-2) cdot 3
= 6 + 6
= 12

Passo 8

Agora, voltando à expressão original do determinante:
det(A) = (-1)^3 cdot 1 cdot (-3) + (-1)^5 cdot (-1) cdot 12
= (-1) cdot (-3) + (-1) cdot (-1) cdot 12
= 3 + 12
= 15

Resposta

O determinante da matriz é 15.

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