Calcule o determinante de cada matriz abaixo:
[cccc1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 1 & 0 & -1 & 0 0 & -1 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma matriz 4x4 e precisa calcular o determinante dela. O determinante é um número especial que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para resolver isso, vamos usar o método de expansão por cofatores, que é uma maneira sistemática de calcular determinantes de matrizes maiores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o determinante de uma matriz 4x4, podemos expandir em torno de uma linha ou coluna que tenha mais zeros, isso simplifica os cálculos. Olhando para a nossa matriz:
1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 1 & 0 & -1 & 0 0 & -1 & 0 & 1
Percebi que a primeira linha tem dois zeros, então é uma boa opção para expandir por cofatores.

Passo 3

Vamos aplicar a expansão por cofatores na primeira linha. A fórmula geral para o determinante usando a expansão por cofatores na linha i é:
det(A) = sumj=1^n (-1)^i+j aij cdot det(Mij)
onde aij são os elementos da matriz e Mij é a matriz que sobra quando removemos a linha i e a coluna j .
Para a primeira linha ( i = 1 ):
det(A) = (-1)^1+1 cdot 1 cdot det(M11) + (-1)^1+2 cdot 0 cdot det(M12) + (-1)^1+3 cdot 1 cdot det(M13) + (-1)^1+4 cdot 0 cdot det(M14)
Note que os termos com 0 vão desaparecer.

Passo 4

Calculando os termos que restaram:
det(A) = 1 cdot det(M11) - 1 cdot det(M13)
Agora, vamos encontrar as matrizes menores M11 e M13 :
Para M11 , removemos a primeira linha e a primeira coluna:
M11 = 1 & 0 & -1 0 & -1 & 0 -1 & 0 & 1
Para M13 , removemos a primeira linha e a terceira coluna:
M13 = 0 & 1 & -1 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1

Passo 5

Agora, vamos calcular os determinantes dessas matrizes 3x3 usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores novamente. Vamos usar a regra de Sarrus para simplificar:
Para det(M11) :
det(M11) = (1)(-1)(1) + (0)(0)(-1) + (-1)(0)(-1) - (-1)(-1)(1) - (0)(0)(1) - (1)(0)(-1) = -1 -1 = -2
Para det(M13) :
det(M13) = (0)(0)(1) + (1)(-1)(0) + (-1)(1)(-1) - (-1)(0)(1) - (0)(-1)(0) - (1)(1)(-1) = 1 + 1 = 2

Passo 6

Agora substituímos esses valores na equação original:
det(A) = 1 cdot (-2) - 1 cdot (2) = -2 - 2 = -4

Resposta

O determinante da matriz é -4.

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