Seja A uma matriz triangular (superior ou inferior) de ordem n. Mostre que det(A)=prodi=1^n(ai i).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A é uma matriz triangular (superior ou inferior) de ordem n, então o determinante de A é o produto dos seus elementos da diagonal principal, isto é
det(A)=prodi=1^naii
Para isso vamos usar o Teorema de Laplace (expansão de determinante) e provar por indução sobre n.

Passo 2

Base da indução ( n=1).
Se A é 1times1, então A=(a11) e claramente
det(A)=a11=prodi=1^1aii
Logo a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo.
Suponha que o resultado seja válido para toda matriz triangular de ordem n-1, ou seja, qualquer matriz triangular B de ordem n-1 satisfaz
det(B)=prodi=1^n-1bii
Queremos provar que vale para uma matriz triangular A de ordem n.

Passo 4

Caso da matriz triangular superior.
Em uma matriz triangular superior A temos ai1=0 para i>1. Ao expandir det(A) pela primeira coluna, só sobra o termo i=1:
det(A) =sumi=1^n(-1)^i+1ai1det(Mi1) =a11det(M11)
Aqui M11 é a submatriz de ordem n-1 obtida ao remover a primeira linha e a primeira coluna de A. Note que M11 continua triangular superior.

Passo 5

Aplicando a hipótese de indução a M11, obtemos
det(M11) =prodi=1^n-1(M11)ii =prodi=2^naii
Logo
det(A)=a11det(M11) =a11prodi=2^naii =prodi=1^naii

Passo 6

Caso da matriz triangular inferior.
A mesma ideia vale trocando “primeira coluna” por “primeira linha” (ou última coluna, etc.), pois numa triangular inferior só há um elemento não nulo na primeira linha ao expandir por ela. O passo de indução fica análogo e dá o mesmo produto dos elementos da diagonal.

Resposta

det(A)=prodi=1^naii

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