Seja
uma matriz triangular (superior ou inferior) de ordem
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma matriz triangular (superior ou inferior) de ordem
, então o determinante de
é o produto dos seus elementos da diagonal principal, isto é
Para isso vamos usar o Teorema de Laplace (expansão de determinante) e provar por indução sobre
.
Passo 2
Base da indução (
).
Se é
, então
e claramente
Se
Logo a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo.
Suponha que o resultado seja válido para toda matriz triangular de ordem , ou seja, qualquer matriz triangular
de ordem
satisfaz
Suponha que o resultado seja válido para toda matriz triangular de ordem
Queremos provar que vale para uma matriz triangular
de ordem
.
Passo 4
Caso da matriz triangular superior.
Em uma matriz triangular superior temos
para
. Ao expandir
pela primeira coluna, só sobra o termo
:
Em uma matriz triangular superior
Aqui
é a submatriz de ordem
obtida ao remover a primeira linha e a primeira coluna de
. Note que
continua triangular superior.
Passo 5
Aplicando a hipótese de indução a
, obtemos
Logo
Passo 6
Caso da matriz triangular inferior.
A mesma ideia vale trocando “primeira coluna” por “primeira linha” (ou última coluna, etc.), pois numa triangular inferior só há um elemento não nulo na primeira linha ao expandir por ela. O passo de indução fica análogo e dá o mesmo produto dos elementos da diagonal.
A mesma ideia vale trocando “primeira coluna” por “primeira linha” (ou última coluna, etc.), pois numa triangular inferior só há um elemento não nulo na primeira linha ao expandir por ela. O passo de indução fica análogo e dá o mesmo produto dos elementos da diagonal.