Seja A=(cccc1 & 1 & 1 & 1 a & b & c & d a^2 & b^2 & c^2 & d^2 a^3 & b^3 & c^3 & d^3). Mostre que det(A)=(d-a) cdot(d-b) cdot(d-c) cdot(c-a) cdot(c-b) cdot(b-a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o determinante da matriz A definida assim:
A = 1 & 1 & 1 & 1 a & b & c & d a^2 & b^2 & c^2 & d^2 a^3 & b^3 & c^3 & d^3
E mostrar que esse determinante é igual a (d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e propriedades de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a matriz A é uma matriz de Vandermonde. Uma matriz de Vandermonde tem a seguinte forma geral:
V = 1 & 1 & dots & 1 x1 & x2 & dots & xn x1^2 & x2^2 & dots & xn^2 vdots & vdots & ddots & vdots x1^n-1 & x2^n-1 & dots & xn^n-1
O determinante de uma matriz de Vandermonde é conhecido e dado por:
det(V) = prod1 <= i < j <= n (xj - xi)
No nosso caso, n = 4 e os valores x1, x2, x3, x4 são a, b, c, d respectivamente.

Passo 3

Aplicando a fórmula do determinante da matriz de Vandermonde para n = 4 , temos:
det(A) = (b - a)(c - a)(d - a)(c - b)(d - b)(d - c)
Reorganizando os fatores para ficar igual ao que o exercício pede, apenas alterando a ordem dos termos (já que a multiplicação é comutativa):
det(A) = (d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)

Resposta

Portanto, o determinante da matriz A é igual a (d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) .

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