e pede para calcular, quando possível, a inversa de A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz é 3\times3 e depende do parâmetro x.
É preciso determinar para quais valores de x a inversa existe e, nesses casos, fornecer A^{-1}.]
Passo 2
Conceito importante (aula rápida sobre invertibilidade): uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, seu determinante \det(A) for diferente de zero. Se \det(A)\neq0 então
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (a transposta da matriz dos cofatores). Vou primeiro calcular \det(A) para saber quando a inversa existe.
Passo 3
Cálculo do determinante (expansão pela primeira linha, explicando cada termo). Para
Conclusão sobre existência da inversa: como \det(A)=-x^{2}, a matriz A é invertível exatamente quando \det(A)\neq0, ou seja, quando x\neq0. Para x=0 a inversa não existe. A partir de agora assumo x\neq0 e calculo A^{-1} usando a fórmula com a adjunta.
Passo 5
Definição prática (cofatores e adjunta): o cofactor C_{ij} é dado por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o determinante da matriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j. A adjunta \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz (C_{ij}). Vou calcular os cofatores elemento a elemento, com calma.
Cofatores da primeira linha:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & x^{2}\\[4pt] 2 & x^{2}\end{pmatrix}= -x^{2}, logo C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=-x^{2}.