Calcule, se possível as inversas das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & x \\\\ 1 & 1 & x^{2} \\\\ 2 & 2 & x^{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz dependente de x
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & x \\[4pt] 1 & 1 & x^{2} \\[4pt] 2 & 2 & x^{2}\end{pmatrix}
e pede para calcular, quando possível, a inversa de A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz é 3\times3 e depende do parâmetro x.
  • É preciso determinar para quais valores de x a inversa existe e, nesses casos, fornecer A^{-1}.]

Passo 2

Conceito importante (aula rápida sobre invertibilidade): uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, seu determinante \det(A) for diferente de zero. Se \det(A)\neq0 então
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (a transposta da matriz dos cofatores). Vou primeiro calcular \det(A) para saber quando a inversa existe.

Passo 3

Cálculo do determinante (expansão pela primeira linha, explicando cada termo). Para
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & x \\[4pt] 1 & 1 & x^{2} \\[4pt] 2 & 2 & x^{2}\end{pmatrix},
temos
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & x^{2}\\[4pt] 2 & x^{2}\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +x\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
Agora calculo as duas determinantes internas:
\det\begin{pmatrix}1 & x^{2}\\[4pt] 2 & x^{2}\end{pmatrix}=1\cdot x^{2}-x^{2}\cdot 2=-x^{2},
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}=1\cdot 2-1\cdot 2=0.
Então
\det(A)=1\cdot(-x^{2})+x\cdot 0=-x^{2}.]

Passo 4

Conclusão sobre existência da inversa: como \det(A)=-x^{2}, a matriz A é invertível exatamente quando \det(A)\neq0, ou seja, quando x\neq0. Para x=0 a inversa não existe. A partir de agora assumo x\neq0 e calculo A^{-1} usando a fórmula com a adjunta.

Passo 5

Definição prática (cofatores e adjunta): o cofactor C_{ij} é dado por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o determinante da matriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j. A adjunta \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz (C_{ij}). Vou calcular os cofatores elemento a elemento, com calma.
Cofatores da primeira linha:
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & x^{2}\\[4pt] 2 & x^{2}\end{pmatrix}= -x^{2}, logo C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=-x^{2}.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}1 & x^{2}\\[4pt] 2 & x^{2}\end{pmatrix}=-x^{2} (mesma submatriz numericamente), então C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-M_{12}=x^{2}.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}=0, então C_{13}=0.]

Passo 6

Cofatores da segunda linha:
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}0 & x\\[4pt] 2 & x^{2}\end{pmatrix}=0\cdot x^{2}-x\cdot 2=-2x, então C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot(-2x)=2x.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & x\\[4pt] 2 & x^{2}\end{pmatrix}=1\cdot x^{2}-x\cdot 2=x^{2}-2x, então C_{22}=(-1)^{4}M_{22}=x^{2}-2x.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}=1\cdot 2-0\cdot2=2, então C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-2.]

Passo 7

Cofatores da terceira linha:
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}0 & x\\[4pt] 1 & x^{2}\end{pmatrix}=0\cdot x^{2}-x\cdot 1=-x, então C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}= -x.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & x\\[4pt] 1 & x^{2}\end{pmatrix}=1\cdot x^{2}-x\cdot 1=x^{2}-x, então C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=- (x^{2}-x)=-x^{2}+x.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1-0\cdot1=1, então C_{33}=1.
Assim a matriz dos cofatores é
(C_{ij})=\begin{pmatrix} -x^{2} & x^{2} & 0\\[4pt] 2x & x^{2}-2x & -2\\[4pt] -x & -x^{2}+x & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Adjunta e inversa: a adjunta é a transposta dos cofatores, então
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} -x^{2} & 2x & -x\\[4pt] x^{2} & x^{2}-2x & -x^{2}+x\\[4pt] 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Como \det(A)=-x^{2}, pela fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{-x^{2}}\operatorname{adj}(A).]

Passo 9

Dividindo cada entrada por -x^{2} e simplificando (lembrando x\neq0 para poder dividir por x):
  • Primeira linha: \dfrac{-x^{2}}{-x^{2}}=1, \dfrac{2x}{-x^{2}}=-\dfrac{2}{x}, \dfrac{-x}{-x^{2}}=\dfrac{1}{x}.
  • Segunda linha: \dfrac{x^{2}}{-x^{2}}=-1, \dfrac{x^{2}-2x}{-x^{2}}=-1+\dfrac{2}{x}, \dfrac{-x^{2}+x}{-x^{2}}=1-\dfrac{1}{x}.
  • Terceira linha: \dfrac{0}{-x^{2}}=0, \dfrac{-2}{-x^{2}}=\dfrac{2}{x^{2}}, \dfrac{1}{-x^{2}}=-\dfrac{1}{x^{2}}.
Portanto, para x\neq0,
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{x} & \dfrac{1}{x}\\[6pt] -1 & -1+\dfrac{2}{x} & 1-\dfrac{1}{x}\\[6pt] 0 & \dfrac{2}{x^{2}} & -\dfrac{1}{x^{2}} \end{pmatrix}.]

Passo 10

Pequena verificação (opcional, só para ganhar confiança): por exemplo, o produto da primeira linha de A^{-1} pela primeira coluna de A deve dar 1:
(1)\cdot 1 +\left(-\dfrac{2}{x}\right)\cdot 1 +\left(\dfrac{1}{x}\right)\cdot 2 =1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x}=1,
ok. Isso é um checape rápido que ajuda a confirmar que os sinais e fatores estão coerentes.

Resposta

\text{Para }x\neq 0:\quad A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{x} & \dfrac{1}{x}\\[6pt] -1 & -1+\dfrac{2}{x} & 1-\dfrac{1}{x}\\[6pt] 0 & \dfrac{2}{x^{2}} & -\dfrac{1}{x^{2}} \end{pmatrix}
Para x=0: a inversa não existe.]

Exercícios relacionados