Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir. Utilize a expansão por cofatores.
A=[crrr12 & 7 & 12 & 8 4 & -1 & 2 & 3 1 & 6 & -2 & 1 -2 & 3 & 2 & 1]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = 12 & 7 & tfrac12 & 8 4 & -1 & 2 & 3 1 & 6 & -2 & 1 -2 & 3 & 2 & 1
usando expansão por cofatores. Vamos usar a primeira linha para expandir, aplicando a fórmula
det(A) = sumj=1^4 (-1)^1+j,a1j,M1j,
onde M1j é o determinante do menor que sobra ao riscar linha 1 e coluna j.

Passo 2

Escrevendo explicitamente
det(A) = 12,C11 + 7,C12 + tfrac12,C13 + 8,C14,
onde C1j=(-1)^1+jM1j.

Passo 3

Cálculo de C11: riscando linha 1 e coluna 1, o menor é
M11 = -1 & 2 & 3 6 & -2 & 1 3 & 2 & 1
Expandindo em 3times 3, temos
M11 = (-1)l((-2)cdot1 - 1cdot2r) - 2l(6cdot1 - 1cdot3r) + 3l(6cdot2 - (-2)cdot3r) = 52
Logo
C11 = (-1)^1+1M11 = 52

Passo 4

Cálculo de C12: riscando linha 1 e coluna 2, o menor é
M12 = 4 & 2 & 3 1 & -2 & 1 -2 & 2 & 1 = 4l((-2)cdot1 - 1cdot2r) - 2l(1cdot1 - 1cdot(-2)r) + 3l(1cdot2 - (-2)cdot(-2)r) = -28
Como o cofator tem sinal invertido,
C12 = (-1)^1+2M12 = 28

Passo 5

Cálculo de C13: riscando linha 1 e coluna 3, o menor é
M13 = 4 & -1 & 3 1 & 6 & 1 -2 & 3 & 1 = 4l(6cdot1 - 1cdot3r) - (-1)l(1cdot1 - 1cdot(-2)r) + 3l(1cdot3 - 6cdot(-2)r) = 60
E
C13 = (-1)^1+3M13 = 60

Passo 6

Cálculo de C14: riscando linha 1 e coluna 4, o menor é
M14 = 4 & -1 & 2 1 & 6 & -2 -2 & 3 & 2 = 4l(6cdot2 - (-2)cdot3r) - (-1)l(1cdot2 - (-2)cdot(-2)r) + 2l(1cdot3 - 6cdot(-2)r) = 100
Como o cofator alterna sinal,
C14 = (-1)^1+4M14 = -100

Passo 7

Substituindo na expansão da primeira linha:
det(A) = 12cdot52 + 7cdot28 + tfrac12cdot60 + 8cdot(-100) = 624 + 196 + 30 - 800 = 50

Resposta

det(A) = 50.

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