Em R^2, mantenhamos a definição do produto alpha v de um número por um vetor, mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definiçāo de soma u+v dos vetores u=(x, y) e v=(x^prime, y^prime). Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos;
u+v=(3 x+3 x^prime, 5 y+5 y^prime)

Passo 1

O enunciado propõe em R^2 a soma vetorial
(x,y)+(x',y') = (3x+3x',,5y+5y')
mantendo a multiplicação escalar usual alpha,(x,y)=(alpha x,alpha y).
O objetivo é verificar, para essa estrutura, quais axiomas de espaço vetorial sobre adição e multiplicação escalar continuam válidos.

Passo 2

Verificação dos axiomas relativos à adição de vetores:
  • Fechamento
    Para quaisquer u=(x,y) e v=(x',y') em R^2,
    u+v = (3x+3x',,5y+5y')inR^2,
    logo o conjunto é fechado sob a soma.
  • Comutatividade
    Como
    u+v = (3x+3x',5y+5y') = (3x'+3x,5y'+5y) = v+u,
    a soma é comutativa.
  • Associatividade
    Tomemos u,v,w. Então
    (u+v)+w = l(3(3x+3x')+3x'',,5(5y+5y')+5y''r)
u+(v+w) = l(3x+3(3x'+3x''),,5y+5(5y'+5y'')r)
Os coeficientes não coincidem (por exemplo, 9x vs. 3x), logo a soma não é associativa.
  • Existência de vetor nulo
    Se existisse 0=(a,b) tal que u+0 = u, precisaríamos de
    (3x+3a,,5y+5b) = (x,y)forall x,y,
    o que implicaria 3a=-2x para todo x, impossível. Logo não há neutro aditivo.
  • Existência de inverso aditivo
    Sem vetor nulo, não há como definir inverso; logo falha também esse axioma.

Passo 3

Verificação dos axiomas relativos à multiplicação escalar:
  • Fechamento
    Para alphainR e vinR^2,
    alpha v=(alpha x,alpha y)inR^2.
  • Distributividade em relação à soma de vetores
    alpha,(u+v) = alpha,(3x+3x',,5y+5y') = (3alpha x+3alpha x',,5alpha y+5alpha y')
alpha u + alpha v = (3alpha x+3alpha x',,5alpha y+5alpha y'),
logo alpha(u+v)=alpha u+alpha v vale.
  • Distributividade em relação à soma de escalares
    (alpha+beta)u = l((alpha+beta)x,,(alpha+beta)yr),
    mas
    alpha u + beta u = (3alpha x+3beta x,,5alpha y+5beta y) = l(3(alpha+beta)x,,5(alpha+beta)yr),
    que em geral difere de (alpha+beta)u. Portanto falha.
  • Compatibilidade com produto de escalares
    ,(alphabeta)u = alpha(beta u) é satisfeita pela multiplicação usual.
  • Identidade escalar
    1cdot u = (1cdot x,1cdot y) = (x,y)=u.

Resposta

A seguir, os axiomas que continuam válidos para esta operação:
  • Fechamento da adição.
  • Comutatividade da adição.
  • Fechamento da multiplicação escalar.
  • Distributividade alpha(u+v)=alpha u+alpha v.
  • Compatibilidade (alphabeta)u=alpha(beta u).
  • Identidade escalar 1cdot u=u.

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