, mantenhamos a definição do produto
de um número por um vetor, mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definiçāo de soma
dos vetores
e
. Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos;
Passo 1
O enunciado propõe em
a soma vetorial
mantendo a multiplicação escalar usual
.
O objetivo é verificar, para essa estrutura, quais axiomas de espaço vetorial sobre adição e multiplicação escalar continuam válidos.
O objetivo é verificar, para essa estrutura, quais axiomas de espaço vetorial sobre adição e multiplicação escalar continuam válidos.
Passo 2
Verificação dos axiomas relativos à adição de vetores:
-
Fechamento
Para quaisquere em , logo o conjunto é fechado sob a soma. -
Comutatividade
Comoa soma é comutativa. -
Associatividade
Tomemos. Então
Os coeficientes não coincidem (por exemplo,
vs.
), logo a soma não é associativa.
-
Existência de vetor nulo
Se existissetal que , precisaríamos de o que implicariapara todo , impossível. Logo não há neutro aditivo. -
Existência de inverso aditivo
Sem vetor nulo, não há como definir inverso; logo falha também esse axioma.
Passo 3
Verificação dos axiomas relativos à multiplicação escalar:
-
Fechamento
Parae ,
. -
Distributividade em relação à soma de vetores
logo
vale.
-
Distributividade em relação à soma de escalaresmasque em geral difere de
. Portanto falha. -
Compatibilidade com produto de escalares
é satisfeita pela multiplicação usual. -
Identidade escalar
.
Resposta
A seguir, os axiomas que continuam válidos para esta operação:
- Fechamento da adição.
- Comutatividade da adição.
- Fechamento da multiplicação escalar.
- Distributividade
. - Compatibilidade
. - Identidade escalar
.