Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes e indique as que são invertíveis
h) [llll1 & 0 & 0 & 3 1 & 1 & 0 & 3 0 & 3 & 1 & 1 0 & 2 & 2 & 2]

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
A = 1 & 0 & 0 & 3 1 & 1 & 0 & 3 0 & 3 & 1 & 1 0 & 2 & 2 & 2
e, com base nisso, indicar se A é invertível. Para isso vamos usar operações elementares que preservam o determinante e expansão de Laplace (cofatores).

Passo 2

Aplicamos a operação de linha
R2 R2 - R1,
que não altera o determinante. Obtemos
A' = 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & 1 & 1 0 & 2 & 2 & 2

Passo 3

Agora expandimos o determinante de A' pela segunda linha, onde só aparece o elemento ,a'2,2=1. Assim
det A = det A' = 1 ,cdot,C2,2,
onde C2,2 é o cofator relativo ao elemento da segunda linha e segunda coluna.

Passo 4

O menor de ordem 3 que define C2,2 é obtido eliminando a 2ª linha e a 2ª coluna de A', ficando
M = 1 & 0 & 3 0 & 1 & 1 0 & 2 & 2

Passo 5

Calculamos det M por expansão na primeira linha:
det M = 1cdotl(1cdot2 - 1cdot2r) - 0;cdot;l(cdotsr) + 3cdotl(0cdot2 - 1cdot0r) = 1cdot(2-2) + 3cdot0 = 0

Passo 6

Como det M=0, temos
det A = 1cdot0 = 0
Uma matriz cujo determinante é zero não é invertível.

Resposta

det A = 0. A matriz não é invertível.

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